Vektor maydondagi chiziqli integral

МAVZU: Vektor maydon uyurmasi (rotori).
Reja:

1. 
   Vektor maydon uyurmasi (rotori).
   
2. 
   Misollar.
   
3. 
   -nabla-vektor.
   
4. 
   Vektor maydon uyurmasi invariant ta’rifi.
   
5. 
   Vektor maydon uyurmasi fizik ma’nosi.
   

Faraz qilaylik, 0xyz fazoning ω sohasida

vektor maydon berilgan bo’lsin.
Vektor maydon uyurmasi
fazoning sohasida

vektor maydon berilgan bo’lsin, bunda funksiyalar sohada differensiallanuvchi.
3-ta‘rif. o’qlarda mos ravishda proeksiyalarga ega bo’lgan vektor vektor maydonning uyurmasi (yoki rotori) deb ataladi va bilan belgilanadi, bunda xususiy hosilalar nuqtada hisoblanadi.
Demak ta‘rifga binoan:
. (1)

kabi yozish mumkin.
Uyurma quyidagi xossalarga ega:
1) ;
2) bunda C-o’zgarmas son.
3) bunda skalyar maydon funksiyasi.
1-misol. Ushbu

vektor maydonning uyurmasi topilsin.
Yechish. ga egamiz. Hususiy hosilalarni topamiz.

Demak, (1) ga asosan .
Uyurma tushunchasidan foydalanib
Stoks formulasini
vektor shaklida

 = ko’rinishdagi «ramziy vektor» Gamilton operatori yoki nabla operator deb ataladi.

Endi nabla-vektor bilan amallar bajarishni qaraymiz.
1. nabla-vektorning skalyar funksiyaga ko’paytmasi shu funksiyaning gradientiga teng, ya‘ni
,
bunda differensiallanuvchi funksiya.
Haqiqatdan,
.
2. nabla-vektorning

vektor funksiya bilan skalyar ko’paytmasi shu vektor maydonini divergentsiyasiga teng, ya‘ni

Haqiqatdan, ikki vektorning skalyar ko’paytmasini topish formulasiga asosan:
.
3. nabla –vektorning

vektor funksiyaga vektor ko’paytmasi shu vektor maydonning uyurmasiga teng, ya‘ni
.
Haqiqatdan, vektorlarni vektor ko’paymasini topish formulasiga asoslanib quyidagiga ega bo’lamiz: