|
QO’SHMA YO’NALISHLAR. QO’SHMA TO’R
Sirt ustida chiziqlarning ikkita oilasi berilib, sirtning har bir nuqtasidan bu oilalarga qarashli bittadan chiziq o’tsa, sirt ustida bu ikki oila to’r tashkil qiladi deymiz.
Ta’rif. Sirtning berilgan nuqtasida unga urinuvchi ikki to’g’ri chiziq, shu nuqtadagi egrilik indikatrisasiga nisbatan qo’shma bo’lsa, bu chiziqlarning yo’nalishlari qo’shma deyiladi.
Sirt tenglama bilan berilib, XOY tekislik sifatida M nuqtadagi urinma tekislik qabul qilinsa, yo’nalishlarning qo’shmalik shartini ushbu
yoki
shaklda yozish mumkin. Egri chiziqli u va koordinatalarda esa bu shart:
(1)
ko’rinishni oladi.
Agar (1) shart chiziqlarning bir parametrli ikki oilasi uchun bajarilsa, ya’ni ularning kesishgan har bir nuqtasidagi urinmalari sirtning shu nuqtadagi indikatrisasiga nisbatan qo’shma bo’lsa, bu ikki oila o’zaro qo’shma deyiladi.
(1) tenglikning muhim geometrik ma’nosi bor. Sirt bo’yicha siljish vektorini bilan va normalning differensialini bilan belgilab, ikkinchi kvadratik formaning koeffitsiyantlari o’rniga ularning qiymatlarini tegishli formulalardan qo’ysak, ushbu tenglik hosil qilinadi:
,
yoki
Bularni qisqacha quyidagicha yozish mumkin:
(2)
Sirt ustidagi L bilan belgilangan chiziqni va uning har bir nuqtasidan sirtga urinma tekislikni olaylik. Bunday tekisliklarning oilasi bir parametrlidir; oila tenlamasi
(3)
ko’rinishga ega. Oilaning xarakteristikasi (to’g’ri chiziq) mana shu (3) tenglamani va uni t bo’yicha differensiallash bilan hosil qilingan ushbu
tenglamani qanoatlantiradi, ammo doimo , demak,
(4)
bo’lib, vektor sirtga urinuvchi xarakteristika bo’ylab yo’nalgandir. Bu vektor sirtga o’tkazilgan δr vektor bilan bir xil yo’nalishga ega, bunda δ – xarakteristika bo’ylabolingan differensialdir (δr – xarakterisrika bo’ylab siljishni ifodalaydi).
(4) tenglamaga o’rniga unga kolleniar δr vektorni qo’ysak, tenglama kelib chiqadi.
(2) ga asosan, o’rniga ni yozish mumkin; demak, ikki oilaning qo’shmalik sharti simmetrikdir. Tekisliklar oilasi bir parametrli bo’lgani uchun, ular yoyiluvchi sirt hosil qiladi, ya’ni ularning xarakteristikalari o’ramaga ega bo’lib, tegishli torsning qaytish qirrasiga urinadi (1-chizma).
1-chizma
Geometrik xulosalarga keldik. Urinish nuqtalarida xarakteristikalarga urinuvchi chiziqlarni o’tkaza borsak, ular bir parametrli oilani tashkil qiladi. Shuning uchun:
Chiziqlarning bir parametrli ikki qo’shma oilasidan biriga qarashli chiziqning ikkinchi oila chiziqlari bilan kesishgan nuqtalarida bu chiziqlarga o’tkazilgan urinmalar yoyiluvchi sirtni tashkil qiladi.
Yuqoridagi muhokamalardan buning teskarisi ham kelib chiqadi: sirtdagi L chiziqning nuqtalarida shu sirtga o’tkazilgan urinmalardan yoyiluvchi sirtni (torsni) tashkil qilishi uchun, bu urinmalrning yo’nalishlari L ning urinmalariga qo’shma bo’lishi zarur va yetarlidir.
Chiziqlarning bir oilasi tenglama bilan berilgan bo’lsa, unga qo’shma oila birinchi tartibli ushbu
(5)
differensial tenglamalardan aniqlanadi. Haqiqatan, dan hosil bo’lib, buni qo’shmalik shartiga qo’ysak, talab qilingan tenglama kelib chiqadi.
Koordinat chiziqlarining qo’shma bo’lishlik sharti:
.
Ta’rif. Agar ikkita oilaga qarashli chiziqlarning kesshgan nuqtalaridagi urinmalar qo’shma yo’nalishli bo’lsa, bu ikki oila qo’shma to’rni tashkil qiladi, deb aytamiz.
Sirt ustidagi ixtiyoriy oila berilsa, unga qo’shma oila (5) differensial tenglamadan topiladi; demak, har bir sirt ustida cheksiz ko’p qo’shma to’rlar mavjuddir.
Lekin oila tenglama bilan berilgan bo’lsa, unga qo’shma oila ushbu tenglamadan topiladi:
Bu tenglama faqat parabolik nuqtada ayniyatga aylanadi, chunki , shartlar dangina bajariladi. Demak, parabolik nuqtalar sohasida asimptotik yo’nalishlar istalgan oila bilan qo’shmadir.
Misol. sirt va uning ustida chiziqlar oilasi berilgan. Unga qo’shma oilani topaylik.
(5) tenglama quyidagini beradi:
bundan izlangan oila tenglamasini hosil qilamiz:
.
Berilgan sirt ustidagi qo’shma to’rlarni topishni yengillashtiruvchi usulni Kyonigs ko’rsatgan.
Fazoda biror l tog’ri chiziq olamiz va bu to’g’ri chiziq orqali S sirtni kesib o’tadigan qilib turli tekisliklar o’tkazamiz. Bu tekisliklar S sirtni chiziqlar bo’ylab kesib o’tadi. Olingan l chiziqda biror nuqtada chiziqlarga urinma to’g’ri chiziqlar o’tkaza borsak, ular S ga biror chiziq bo’ylab urinadigan konusni tashkil qiladi. Bu konus – qaytish qirrasi bitta nuqtadan iborat torsdir, nuqta o’rniga l da boshqa nuqtalarni olsak, sirtda yana chiziqlar hosil qilamiz (2-chizma).
2-chizma
Sirt ustidagi chiziqlarning ikki oilasi va qo’shma to’rni beradi. Haqiqatan, ni chiziq nuqtalarida chiziqlarga o’tkazilgan urinmalar torsni tashkil qilgan edi, bu esa ikki oilaning qo’shmalik shartidir. chiziq ba’zan “soyalar chizig’i” deyiladi, chunki nuqtada yorug’lik manbau joylashgan bo’lsa, bu chiziq sirtning yoritilgan qismidan ajratib turadi. chiziqlar ham shu xossaga egadir.
Do'stlaringiz bilan baham: |
