Vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

Matematik analiz apparatining rivojlanishi.

1. 
   Differentsial hisobi.
   

o’.V.Leybnitsning dastlabki ishlari e’lon qilingandan so’ng, uning differentsial hisobi va simvolikasi boshqa matematiklar ishlariga va simvolikalariga qaraganda qulay va tushunarli, ishlatish uchun va keyingi masalalarni echish uchun, analiz ope- ratsiyalarini mohiyatini yaxshi aks ettira olish bilan tez ommalashib ketdi. Shunday bo’lishiga qaramasdan hali differentsialni tushunish (to’liq ma’noda) etarlicha emas edi.

L.Eylerdan boshlab ko’pchilik matematiklar differentsialni yo’qolib boruvchi ort- tirmalarning nisbati kabi ta’riflab keldilar va buning rivojiga katta e’tibor berdilar. Cheksiz kichiklar analizning kashfiyotchilari differentsial bilan chekli ayirmalar ora- sidagi ko’pdan-ko’p o’xshashliklarni ochdilar.

Jumladan Nьyuton interpolyatsion formulasi (1711 yil):

f (a

n x)

f (a)

n f (a)

n(n

^{1) 2} f (a)

n(n

1)(n

^{2) 3} f (a)

...

ⁿ f (a) ,n ;

1 2 1 2 3

f (a),

² f (a),...

x=a dagi ketma-ket chekli ayirmalar:

f (х)

f (x

x),

² f (a)

(x x)

f (x),...,

ⁿ f (х)

^{n 1} f (x

x) ^{n 1} f (x) ^.

Bu formulani Teylor x

0 bo’lib, n

x h bo’lganda cheksiz ko’p hadlar

uchun

f (a

h) f (a)

_h f (a)

x

h(h x) 1 2

² f (a)

_x2

... deb

f (x

h) f (x)

_h df (x) dx

h² d ² f (x) 1 2 dx²

_h3

1 2 3

d ³ f (x) dx³

... oladi.

Differentsial hisobining operatsiyasini samaradorligini ta’minlash uchun bar-

cha funktsiyalarni elementar yo’l bilan qatorga yoyish masalasi aktual bo’lib qoldi. XVIII asr matematiklarning ishlarining asosiy qismi qatorning qoldiq hadini topish va uni tekshirish; qatorni oldindan yaqinlashuvchanligi ma’lum bo’lgan qatorga al- mashtirish; uzoqlashuvchi qatorlar ustidagi amallarni ilmiy tushunish bilan shug’ullandilar. Bu sohada Dalamber, Lambert, Lagranj, Eyler, Koshi, Lejandr ko’p ish qildilar. Funktsiyani darajali qatorga yoyish bilan birga, assimptotik qatorga yoyish (D.I.Stirling – 1730, Eyler – 1732), trigonometrik qatorga yoyish (Eyler – 1748), sferik funktsiyalar bo’yicha qatorga yoyish (Laplas – 1782, Lejandr – 1783) ishlari ham jadal rivojlandi.

Bir o’zgaruvchili funktsiya ekstremumi qoidasini Makloren. Ikki o’zgaruvchili funktsiya ekstremumi qoidasini Eyler.

Murakkab funktsiya differentsiali qoidasini Eyler. Funktsiyani ekstremumlarini topish qoidasini Logranj.

Aniqmasliklarni: , 0 ochish Eyler.