Vazirligi nizomiy nomidagi toshkent davlat pedagogika universiteti a. A. Normatov matematika tarixi

Funktsiya tushunchasi ikki xil ko’rinishga ega: munosabat ko’rinishga va ana- litik ifodaga. Funktsiya tushunchasining dastlabki ko’rinishlari antik matematiklarn- ing geometrik o’rinlari va turli-tuman tablitsalaridir. So’ngroq Diofantning simvolik apparatidir. Keyinroq esa algebraik va trigonometrik funktsiyalar, logarifmik va boshqa funktsiyalar . Funktsiyaning munosabatlar ko’rinishdagi g’oyasini funktsiya termini va simvoli orqali beriladi. Bu davr matematiklari konkret funktsiyalar ustida operatsiyalar bajarganliklari uchun ham funktsiyaga bergan ta’riflari aynan shu mazmunni aks ettirgan.

“Funktsiya – bu analitik ifodadir” – 1718 yil I.Bernulli. Eyler “Analizga kirish” (2 tomlik, 1718 yil) asarida “O’zgaruvchi miqdor funktsiyasi bu shu o’zgaruvchi miqdor va sondan qandaydir usul bilan tuzilgan analitik ifodadir”. Argumentning haqiqiy va mavhum qiymatalarini e’tiborga olgan. Funktsiyani tuzish uchun u arifmetik amal- lar, daraja, ildiz, integrallash amallari yordamida hosil qilgan. So’ngra funktsiyalarni xossalariga qarab klassifikatsiyalaydi: bir qiymatli, ko’p qiymatli, juft-toq, va xoka-

zo. Bularni qatoriga elementar trantsendent funktsiyalar

e^z , ln z,

shz,

coz

larni kiri-

tadi va barcha funktsiyalarni

f (z) a₀

a₁ z

a z ²

...

darajali qator ko’rinishida ta-

2
savvur qiladi. Qator yordamida ratsional, irratsional, kasr-ratsional, ko’rsatkichli va logarifmik funktsiyalar sinfini o’rganadi (funktsiya tablitsasi).

Birinchi marta N>0 uchun a^x=N bo’lsa, u holda х

log _a N

isbotlanadi va

_ez _ez



n
lim ^{1 z}

n

isbotlanadi.

Trigonometrik funktsiyalar qam analitik usulda kiritiladi (birlik aylanasiz).

Ќossalarni o’rganib e ^iv

cosv

isin v - Eyler formulasini chiqaradi.

Qatorga yoyishdan tashqari u funktsiyani cheksiz ko’paytuvchilar ko’rinishida ham tasvirlaydi.

cos z
Uzluksiz kasrlarning xossalaridan funktsiyani elementar kasrlar yig’indisi

ko’rinishda ham tasvirlaydi.

Xulosa qilib XVIII asr matematikasida funktsiya tushunchasi Eyler tasavvuri- dagidek bo’lib, har qanday analitik ifodani qator ko’rinishida tasvirlash mumkin deb qaralgan (universal qator sifatida Teylor qatori hisoblangan). Bu esa shu davrga ke- lib to’plangan ma’lumotlarga to’sqinlik qila boshladi. o’eometrik ifodalangan har qanday chiziqni funktsiya sifatida qarash g’oyasi Eylerda paydo bo’ladi. Bu haqda ko’plab olimlar bosh qotirishadi: Teylor, Dalamber, D.Bernulli va boshqalar.

Funktsiya tushunchasi XIX asrda ham rivojlanib boradi. Qisqacha shular haqi- da to’xtalib o’taylik.

1807 yili Furьe issiqlikning analitik nazariyasiga oid ishlarida (1822 yili chop etilgan) chekli uchastkalarda turli tenglamalar bilan berilgan bog’liqli chiziqlar

69

f (x) ^a0

2

(a_n

n 1

cosnx

b_n sin nx)

qator bilan tasvirlanishini isbotlaydi. Bu erdagi

n

a

n
¹ f (x) cosnxdx, b ¹ f (x) sin nxdx Furьe koeffitsientlari.
Natijada Eyler tasavvuridagi funktsiyalar, ya’ni qo’lning erkin harakati bilan chizilgan bog’liqli chiziqlar, trigonometrik qatorlarning analitik apparati bilan ifoda- lash mumkin bo’ladi. Bu funktsional munosabatlarga ta’rif berish imkonini beradi.

Furьe “Issiqlikning analitik nazariyasi” asarida va Lakruda 1810 y “Qiymati (u) bir yoki bir necha boshqa miqdorlarga (x) bog’liq bo’lgan miqdor, oldingilarning funktsiyasi deb ataladi; bunda keyingi miqdorni hosil qilish uchun oldingi miqdorlar ustida qanday operatsiyalar bajarishimizni bilishimiz shart emas”, mazmunidagi ta’riflar berishadi.

1834 yilda Lobachevskiy “Umumiy tushunchalar, x-ning har bir qiymati uchun beriladigan va x bilan birga o’zgaradigan x-ning funktsiyasini son deyishini taklif etadi. Funktsiyaning qiymati yoki analitik ifoda bilan, yoki ma’lum bir shart bilan yoki bog’lanish mavjud bo’lib o’zi noma’lim qolishi mumkin”.

1837 yili shunga o’xshash ta’rifni Direxle beradi. Funktsiya masalasi hal bo’lgandek edi, lekin tez orada 1876 yili P. Dyubua – Reyman shunday uzluksiz funktsiya tuzadiki, uni Furьe qatoriga yoyganda ayrim nuqtalari uzoqlashuvchi bo’ladi. Bu funktsiyani tuzishda Dyubuaga Reyman funktsiyasini uzluksiz, chekli ho- silaga, chegaralanganligi, bo’laklarda monotonligi, integralining mavjudligi, teng- sizlikning bajarilishi shartlarini jamlash uslubidan foydalandi. Bu uslubni sistemali qo’llash natijasida [0; 2 ] da davriy va uzluksiz bo’lgan hamda istalgan nuqtasida yuqoridagi xususiyatlar jamlangan f(x) funktsiyani tuzishga muvaffaq bo’ladi. Shun- ga mos Furьe qatori segmentning istalgan nuqtasida uzoqlashuvchi bo’ladi. Bu fakt funktsiya tushunchasining umumiy talqiniga zid bo’ladi. Bundan so’ng yana izla- nishlar boshlanadi. XIX asrning 70-yillari o’. Kantor to’plamlar nazariyasi yordamida egri chiziqlarga tushuncha beradi. 1882 yil K.Jordan koordinatalari x=x(t), u=u(t) tenglamalar bilan berilgan [t,T] kesmada uzluksiz bo’lgan tekislik nuqtalarining bir- lashmasidan iborat bo’lgan funktsiyani tuzadi.

1890 yilda esa Peano qandaydir kvadratning ichki nuqtalarini to’ldiruvchi Jor- dan chiziqlari mavjud ekanligini ko’rsatadi. Masalan: x’(t) va y’(t) uzluksiz hosilalar

a

mavjud bo’lsa, u holda egri chiziq l

dan iborat.

x ^{I 2} (t)

b

y ^{I 2} (t)dt

uzunlikka ega bo’lgan chiziq-

1885 yil Veyershtrass [a;b] kesmada uzluksiz bo’lgan har qanday f(x) funktsiya

shu kesmada tekis yaqinlashuvchi butun algebraik ko’phadlar

ko’rinishida analitik tasvirlash mumkinligini isbotlaydi.

P_n (x)

n 1

yig’indisi

Ko’rinib turibdiki funktsiya nazariyasi rivojlangan sari u faktlar bilan boyib bordi, yangi sohalar vujudga keldi. Shu bilan birga uning roli ham oshib boradi. Ana-

70

lizga kirish rolidan matematikaning eng yuqori bosqichi funktsiyalar nazariyasi da- rajasiga ko’tariladi.

Endi XVIII asr matematiklarning ayrim ishlari bilan tanishaylik: