|
Funksiyaning differensiallanuvchanligi
P
f
z
funksiya
)
,
(
y
x
P
nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin.
2-ta’rif
.
Agar
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
,
(
y
x
P
nuqtadagi to‘liq orttirmasini
y
x
y
B
x
A
z
(1)
ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda
)
,
(
y
x
f
z
funksiya
)
,
(
y
x
P
nuqtada
differensiallanuvchi
deyiladi, bu yerda
y
x
B
A
,
,
ga bog‘liq bo‘lmagan sonlar,
0
,
0
y
x
da
.
0
,
0
1-teorema
.
Agar
)
,
(
y
x
f
z
funksiya
)
;
(
y
x
P
nuqtada diffrensiallanuvchi
bo‘lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi.
2-teorema
(
funksiya
differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti
). Agar
)
,
(
y
x
f
z
funksiya
)
,
(
y
x
P
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu
nuqtada
)
,
(
y
x
f
A
x
va
)
,
(
y
x
f
B
y
xususiy hosilalarga ega bo‘ladi.
Shunday qilib,
)
,
(
y
x
f
z
funksiya
)
;
(
y
x
P
nuqtada differensiallanuvchi
bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda
qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya
)
;
(
y
x
P
nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz
keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi.
3-teorema
(
funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti
). Agar
)
,
(
y
x
f
z
funksiya
)
;
(
y
x
P
nuqtaning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga
ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi.
13
Funksiyaning to‘liq differensiali
)
,
(
y
x
f
z
funksiya
)
;
(
y
x
P
nuqtada diferrensiallanuvchi bo’lsin.
3-ta’rif
.
z
to‘liq orttirmaning
y
x
,
larga nisbatan chiziqli bo‘lgan bosh
qismi
y
B
x
A
ga
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
;
(
y
x
P
nuqtadagi to‘liq
differensiali
deyiladi va u
dz
bilan belgilanadi.
Demak, ta’rifga ko‘ra
y
B
x
A
dz
yoki 2-teoremaga binoan
.
)
,
(
)
,
(
y
y
x
f
x
y
x
f
dz
y
x
Shunday qilib, funksiyaning to‘liq differensiali xususiy hosilalarning mos
argumentlar orttirmasiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng.
To‘liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining
tengligi
dy
y
dx
x
,
ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin:
dy
y
x
f
dx
y
x
f
dz
y
x
)
,
(
)
,
(
(2)
yoki
,
z
d
z
d
dz
y
x
bu yerda
,
)
,
(
dx
y
x
f
z
d
x
x
dy
y
x
f
z
d
y
y
)
,
(
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
;
(
y
x
P
nuqtadagi xususiy differensiallari.
Masalan.
y
x
z
3
funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini
topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz:
,
1
3
ln
3
y
x
z
y
x
2
3
ln
3
y
x
y
z
y
x
.
U holda
14
,
3
ln
3
1
dx
y
z
d
y
x
x
,
3
ln
3
2
dy
y
x
z
d
y
x
y
.
3
ln
3
1
dy
y
x
dx
y
dz
y
x
Ko‘pchilik masalalarni yechishda
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
;
(
0
0
0
y
x
P
nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to‘liq differensialiga
taqriban tenglashtiriladi, ya’ni
dy
y
deb olinadi.
Demak,
y
y
x
f
x
y
x
f
y
x
f
y
y
x
x
f
y
x
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
yoki
y
y
x
f
x
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
0
0
0
0
0
0
. (3)
(3) taqribiy tenglikka
)
,
(
y
x
f
z
funksiyani
)
;
(
0
0
0
y
x
P
nuqta atrofida
chiziqlashtirish
deyiladi. Bunda qandaydir
A
kattalikning taqribiy qiymatini
hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
o
1
.
A
ni biror
)
,
(
y
x
f
funksiyaning
)
;
(
y
x
P
nuqtadagi qiymatiga
tenglashtiriladi, ya’ni
)
,
(
y
x
f
A
deb olinadi;
o
2
.
)
;
(
0
0
0
y
x
P
nuqta
)
;
(
y
x
P
nuqtaga yaqin va
)
,
(
0
0
y
x
f
ni hisoblash qulay
qilib tanlanadi;
o
3 .
)
,
(
0
0
y
x
f
hisoblanadi;
o
4
.
)
,
(
),
,
(
y
x
f
y
x
f
y
x
lar topilib,
)
,
(
),
,
(
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
lar hisoblanadi;
o
5 .
)
,
(
),
,
(
),
,
(
,
,
,
,
0
0
0
0
0
0
0
0
y
x
f
y
x
f
y
x
f
y
x
y
x
y
x
qiymatlar (2.3) formulaga
qo‘yiladi.
Masalan.
1,98
ar
1
1,03
ñtg
ni taqribiy hisoblaymiz.
15
o
1
.
1
03
,
1
98
,
1
arctg
A
,
1
)
,
(
y
x
arctg
y
x
f
deymiz.
U holda
A
y
x
f
)
,
(
,
;
03
,
1
,
98
,
1
y
x
o
2
.
1
,
2
0
0
y
x
,
ya’ni
)
1
;
2
(
0
P
deb olamiz;
o
3 .
;
785
,
0
4
1
1
2
)
1
,
2
(
arctg
f
o
4
.
,
1
1
1
1
)
,
(
2
y
y
x
y
x
f
x
,
1
1
1
)
,
(
2
2
y
x
y
x
y
x
f
y
1
)
1
,
2
(
,
5
,
0
2
1
)
1
,
2
(
y
x
f
f
;
o
5 .
.
745
,
0
)
1
03
,
1
(
1
)
2
98
,
1
(
5
,
0
785
,
0
1
03
,
1
98
,
1
arctg
16
Yuqori tartibli xususiy hosilalar va differensiallar
)
;
(
y
x
P
nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan
)
,
(
y
x
f
z
funksiya shu
atrofda
),
,
(
y
x
f
x
z
x
)
,
(
y
x
f
y
z
y
xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular
birinchi tartibli xususiy hosilalar
deyiladi.
Bu hosilalar
x
va
y
o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu
funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud
bo‘lsa, ularga
ikkinchi tartibli xususiy hosilalar
deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
);
,
(
2
2
2
y
x
f
z
x
z
x
z
x
x
xx
);
,
(
2
y
x
f
z
x
y
z
y
z
x
xy
xy
);
,
(
2
y
x
f
z
y
x
z
x
z
y
yx
yx
).
,
(
2
2
2
y
x
f
z
y
z
y
z
y
y
yy
Uchinchi, to‘rtinchi va umuman
n
tartibli xususiy hosilalar shu kabi
aniqlanadi.
)
,
(
y
x
f
xy
va
)
,
(
y
x
f
yx
hosilalarga
ikkinchi tartibli aralash xususiy
hosilalar
deyiladi.
Do'stlaringiz bilan baham: |
