|
Bir o’zgaruvchili funksiya haqida tushuncha. Funksiyaning aniqlanish
sohasi va qiymatlar to’plami.
n o’lchovli haqiqiy fazoda
n
n
R
x
x
x
M
V
є
)}
;...;
;
(
{
2
1
nuqtalar to’plami berilgan bo’lsin.
V to’plamga tegishli har bir
)
;...;
;
(
2
1
n
x
x
x
M
nuqtaga aniq biror-
bir y haqiqiy sonni mos qo’yuvchi
f
qonunga x
1
, x
2
, …, x
n
o’zgaruvchilarning V
nuqtalar to’plamida berilgan funksiyasi deyiladi.
n ta o’z-garuvchilarning
funksiyasi
y =
f
(M) yoki y =
f
(x
1
; x
2
; …; x
n
) ko’rinishda yoziladi.
f
(M) haqiqiy
son
y
funksiyaning M nuqtada erishadigan qiymatini anglatadi.
Xususan, agar V є R
1
bo’lib, V to’plam R
1
={x} haqiqiy sonlar to’plamining
qism osti to’plamidan iborat bo’lsa, V to’plamda
bir o’zgaruvchili y =
f
(x)
funksiya
berilgan deyiladi.
Misollar: 1)
}
0
|
є
{
ln
)
(
1
x
R
x
V
x
x
f
to’plamda
berilgan bir x o’zgaruvchili funksiya. Xususan, є
f
(e) =
ln
e = 1.
2)
2
2
2
2
1
R
V
x
x
1
)
M
(
f
)
0
;
0
(
\
O
to’plamda berilgan ikki
1
x
va
2
x
o’zgaruvchili funksiya. M(- 1; 2) nuqtada
2
,
0
)
2
:
1
(
f
.
3)
7
x
|
)
x
;
x
;
(
7
)
(
f
2
3
2
2
2
1
3
3
2
1
2
3
2
2
2
1
x
x
R
x
M
V
x
x
x
M
to’plamda
berilgan
uch
x
1
, x
2
va x
3
o’zgaruvchili funksiya.
)
1
;
1
;
1
(
M
nuqtada
2
)
1
;
1
;
1
(
f
7
)
;...;
;
(
)
(
2
1
n
x
x
x
M
f
y
funksiya berilgan
n
R
fazoga tegishli
to’plamga uning
aniqlanish sohasi
deyiladi va
)
(
f
D
yoki
)
(
y
D
yozuv bilan
ifodalanadi.
)
(
M
f
y
funksiya o’z aniqlanish sohasi
)
(
f
D
ning har bir nuqtasida
qabul qilishi mumkin bo’lgan barcha qiymatlari to’plamiga esa uning
qiymatlari
to’plami
yoki o’zgarish sohasi deyiladi. Funksiya qiymatlar to’plami R
1
haqiqiy
sonlar to’plamining qism osti to’plami bo’lib,
)
(
f
E
yoki
)
(
y
E
belgilar bilan
yoziladi.
8
Ikkidan ortiq o‘zgaruvchining funksiyasi
3
R
fazoda
D
va
E
to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
2-ta’rif
.
Agar
D
to‘plamning har bir
)
,
,
(
z
y
x
haqiqiy sonlar uchligiga biror
qonun yoki qoida bilan
E
to‘plamdagi yagona haqiqiy
u
soni mos qo‘yilgan bo‘lsa,
D
to‘plamda
uch o‘zgaruvchining funksiyasi
aniqlangan deyiladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi ikki o‘zgaruvchining funksiyasi kabi
belgilanadi:
....
,
0
)
,
,
,
(
),
,
,
(
),
,
,
(
u
z
y
x
F
z
y
x
u
u
z
y
x
f
u
Uch o‘zgaruvchining funksiyasini
)
;
;
(
z
y
x
P
nuqtaning funksiyasi deb qarash
va
)
,
,
(
z
y
x
f
u
yozuvni
P
f
kabi yozish mumkin. Bu holda uch o‘zgaruvchi
funksiyasining aniqlanish sohasi
Oxyz
fazodagi nuqtalarining biror to‘plamidan
yoki butun fazodan iborat bo‘ladi.
Misol.
6
2
3
z
y
x
u
funksiyalarning aniqlanish sohasini topamiz.
Bu funksiya
0
6
2
3
z
y
x
yoki
6
2
3
z
y
x
shartda haqiqiy
qiymatlar qabul qiladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi
Oxyz
koordinatalar
fazosining
0
6
2
3
z
y
x
tekislikda va bu tekislikdan yuqorida yotgan
nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi jadval va analitik usullarda berilishi mumkin.
Bunda ikkidan ortiq kirish parametriga ega jadval foydalanishga noqulay bo‘lgani
uchun ikkidan ortiq o‘zgaruvchinig funksiyasi asosan analitik usulda beriladi.
To‘rt o‘zgaruvchining, besh o‘zgaruvchining va umuman
n
o‘zgaruvchining
funksiyasi yuqoridagi kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
n
o‘zgaruvchining
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
f
y
funksiyasi ko‘pincha
n
R
fazodagi
)
;...;
;
(
2
1
n
x
x
x
P
nuqtaning funksiyasi sifatida qaraladi va
)
(
P
f
y
deb yoziladi.
n
o‘zgaruvchi
9
funksiyasining aniqlanish sohasi
)
,...,
,
(
2
1
n
x
x
x
haqiqiy sonlar sistemasining
D
to‘plamidan iborat bo‘ladi. Bunda to‘rtta va undan ortiq o‘zgaruvchiga bog‘liq
funksiyalarning aniqlanish sohasini ko‘rgazmali (chizmalarda) namoyish qilib
bo‘lmaydi.
10
Funksiyaning xususiy hosilalari
)
,
(
y
x
f
z
funksiya
2
R
D
to’plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib,
)
;
(
0
0
0
y
x
P
,
)
;
(
0
0
1
y
x
x
P
,
)
;
(
0
0
2
y
y
x
P
va
)
;
(
0
0
3
y
y
x
x
P
nuqtalar
D
to‘plamga tegishli bolsin, bu yerda
y
x
,
argumentlarning orttirmalari.
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
0
0
0
0
1
y
x
f
y
x
x
f
P
f
P
f
z
x
va
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
0
0
0
0
2
y
x
f
y
y
x
f
P
f
P
f
z
y
ayirmalarga
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
;
(
0
0
0
y
x
P
nuqtadagi
x
va
y
o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy
orttirmalari
deyiladi.
)
,
(
)
,
(
)
(
)
(
0
0
0
0
3
y
x
f
y
y
x
x
f
P
f
P
f
z
ayirmaga
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
,
(
y
x
P
nuqtadagi
to‘liq orttirmasi
deyiladi.
Misol.
2
2
y
x
xy
z
funksiyaning
)
1
;
1
(
0
M
nuqtadagi xususiy va to‘liq
orttirmalarini
1
,
0
x
va
2
,
0
y
lar uchun topamiz:
2
2
2
2
)
(
)
(
y
x
xy
y
x
x
y
x
x
z
x
;
01
,
0
1
)
1
(
1
)
1
,
0
1
(
)
1
(
)
1
,
0
1
(
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
y
x
xy
y
y
x
y
y
x
z
y
;
64
,
0
)
1
(
)
1
(
1
)
2
,
0
1
(
)
2
,
0
1
(
1
2
2
2
2
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
y
x
xy
y
y
x
x
y
y
x
x
z
.
55
,
0
)
1
(
1
)
1
(
1
)
2
,
0
1
(
)
1
,
0
1
(
)
2
,
0
1
(
)
1
,
0
1
(
2
2
2
2
1-ta’rif
.
Agar
x
z
x
nisbatining
0
x
dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
;
(
0
0
0
y
x
P
nuqtadagi
x
o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy
11
hosilasi
deyiladi va
)
,
(
),
,
(
,
,
0
0
0
0
0
0
y
x
f
y
x
z
x
f
x
z
x
x
P
P
ko‘rinishlarda
belgilanadi.
Demak,
x
y
x
f
y
x
x
f
x
z
y
x
f
x
x
x
x
)
,
(
)
,
(
lim
lim
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
.
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning
)
;
(
0
0
0
y
x
P
nuqtadagi
y
o‘zgaruvchi bo‘yicha
xususiy hosilasi
shu kabi ta’riflanadi:
y
y
x
f
y
y
x
f
y
z
y
x
f
y
y
y
y
)
,
(
)
,
(
lim
lim
)
,
(
0
0
0
0
0
0
0
0
.
n
(
2
n
) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham
)
,
(
y
x
f
z
funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
Misollar.
1.
y
x
tg
z
ln
funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini
topamiz:
,
2
sin
2
1
2
sin
2
cos
1
1
2
y
x
y
y
y
x
y
x
y
x
y
x
tg
x
z
x
.
2
sin
2
2
sin
2
cos
1
1
2
2
2
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
tg
y
z
y
2.
z
y
x
xyz
u
3
2
funksiyaning birinchi tartibli xususiy
hosilalarini topamiz:
,
2
x
yz
x
u
,
3
2
y
xz
y
u
.
1
xy
z
u
)
,
(
y
x
f
z
funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz.
12
Do'stlaringiz bilan baham: |
