Variant topshiriq

7. 
   VARIANT
   

1. 
   TOPSHIRIQ
   

1. 
   To’g’ri burchakli uchburchaklar uchun Pifagor teoremasi.
   

Javob: Pifagor teoremasi: to'g'ri burchakli uchburchakda gipotenuzaning maydoni oyoqlarning kvadratlari yig'indisiga teng.

Uchburchakni kvadratga quyidagicha tugatamiz

To'g'ri burchakli uchburchaklar yordamida kvadrat quring

Uning tomoni teng.

Shakl 18. Yon tomonli kvadrat

Boshqa tomondan, ushbu kvadratning maydoni to'rtburchaklar va kichik kvadratlarning maydonlarining yig'indisi sifatida hisoblanishi mumkin. Har bir to'g'ri uchburchakning maydoni tengdir.

Maydonni tenglashtirib, biz quyidagilarga ega bo'lamiz:

Pifagoraning teskari teoremasi

Pifagor teoremasi bu o'ng uchburchak xususiyati: agar uchburchak to'rtburchaklar bo'lsa, unda uning yon tomonida boshqa ikki tomonning kvadratlar yig'indisiga teng kvadrat bo'lishi kerak.

Bu nisbat belgi, ya'ni teskari yo'nalishda ishlaydimi? Agar uchburchakda ikkala tomonning kvadratlarining yig'indisi uchinchi tomonning kvadratiga teng bo'lsa, u to'rtburchaklar shaklida deyish mumkinmi? Yoki bir xil bayonotning boshqa ekvivalent formulasi: to'rtburchaklar bo'lmagan uchburchaklar yo'q deb aytish mumkinmi, ular uchun bir tomonning kvadrati boshqa ikki tomonning kvadratlari yig'indisiga teng? Teskari Pifagor teoremasi ham haqiqatdir. Keling, buni isbotlaylik.

Pifagor teoremasining teskari teoremasi: uchburchak berilgan (19-rasmga qarang).

Shakl 19. Gipotenuzaning maydoni bo'lgan uchburchak

Keling, yana uchburchakni quramiz. To'g'ri burchakli uchburchakni olamiz, unda ikki tomon asl nusxaning ikkala tomoniga teng (20-rasmga qarang).

Shakl 20. Uchburchak to'g'ri burchak ostida chizilgan

Pifagor teoremasi bo'yicha, yangi uchburchakning gipotenuzasi maydoni uning oyoqlari kvadratlarining yig'indisiga teng:

Ammo birinchi uchburchak tomonida ham xuddi shunday shart mavjud:

Ammo keyin uchburchaklar uch tomonga teng (uchburchaklar tengligining uchinchi belgisi). Shunday qilib, ularning burchaklari tengdir, xususan:

Ya'ni, uchburchak ham to'rtburchaklardir.

To'g'ridan-to'g'ri va teskari Pifagor teoremalari juda ko'p sonli muammolarni hal qila oladigan kuchli va tez-tez ishlatiladigan geometrik asboblardir.

Ammo shu bilan birga, Pitagor teoremasi shunchaki umumiy uchburchaklar teoremasining alohida holidir (kosin teoremasi), bu uchburchakning uch tomonini bilish nafaqat ushbu uchburchak to'g'ri burchakka ega yoki yo'qligini aniqlashga, balki miqdorini topishga imkon beradi. uchburchakning burchaklari. Bu haqda keyingi darsda ko'proq gaplashamiz.

Trigonometriya

Masofani uzunlik birligida o'lchash mumkin (safar kuni) (21-rasmga qarang).

Shakl 21. Nuqtalar orasidagi masofani turli yo'llar bilan o'lchash mumkin.

Vazifaga qarab, muayyan usullar va o'lchov birliklari qulay bo'lishi mumkin. Masalan, daqiqalar orasidagi masofa (22-rasm).

Shakl 22. Daqiqalar nuqtalari orasidagi masofa

Burchaklar darajasida o'lchashimiz mumkin. Buning uchun siz maxsus vositadan - protraktordan foydalanishingiz mumkin (23-rasm).

Shakl 23. Protraktor

Daraja aylananing bir qismi bo'lganligi uchun, burchakning daraja o'lchovi aslida u to'liq aylananing qaysi qismi ekanligini ko'rsatadi (24-rasm).

Shakl 24. Burchakning daraja o'lchovi burchakning to'liq aylanasi qancha ekanligini ko'rsatadi

Ammo bu har doim ham qulay emas. Ushbu misolni ko'rib chiqing: uchburchaklar tengligining uchinchi belgisi (uch tomon) har qanday uchburchak o'zining uch tomonining uzunligi bilan aniq belgilanishini aytadi. Ammo keyin, uchburchakning tomonlarining uzunligini bilib, biz uning burchaklarini topa olishimiz kerak.

Ya'ni, burchaklarni o'lchagich yordamida ham o'lchash mumkin. Buni qanday qilish kerak? Boshqa bir belgini eslang - uchburchaklarning o'xshashlik belgisi (ikki burchakda): agar uchburchaklar teng burchaklarga ega bo'lsa, unda bu uchburchaklar o'xshashdir. Ya'ni, uchburchakning yon tomonlarining uzunliklariga mutanosib ravishda ko'payishi yoki kamayishi bilan, burchaklar o'zgarmaydi (25-rasm). Xulosa shundan dalolat beradiki: burchaklar qandaydir tarzda tomonlar uzunligi nisbati bilan bog'liq bo'lishi mumkin (chunki bu nisbatlar nisbati o'zgarmasdir, mutanosiblik koeffitsientidan qat'iy nazar).

Shakl 25. Uchburchakning tomonlarining uzunliklariga mutanosib ravishda ko'payishi yoki kamayishi bilan, burchaklar o'zgarmaydi

Uzunliklarni o'lchash orqali burchaklarni o'lchash masalasini hal qilish bilan shug'ullanadigan matematikaning sohasi deyiladi trigonometriya - (yunoncha) "uchburchaklar o'lchovi". Va uning o'qishi boshida faqat bitta to'g'ri uchburchak bizning asosiy vositalarimizdan biri bo'ladi

2. 
   Geometrik masalalar yechish metodlari haqida. O’quvchini mantiqiy fikrlashga, izlanishga, ijod qilishga, o’z navbatida mustaqil ta’lim olishga, o’z-o’zini rivojlantirishga tayyorlash maktabning asosiy vazifasidir. Mantiqiy fikrlashni shakllantirishga oid olib boriladigan ta’lim jarayonining asosiy mazmuni va mohiyatini ishlab chiqish maqsadga muvofiqdir. Mantiqiylik, pedagogik tushuncha sifatida ta’limning maqsadi va vositasiga birdek tegishlidir. Ya’ni ta’limdan maqsad, avvalo, mantiqiy fikrlaydigan shaxsni tarbiyalashdan iborat. Ta’limning vositasi sifatida u o’quvchilarga taqdim etilayotgan bilimlarning mantiqiy jihatdan izchilligini ifodalaydi. Ta’lim jarayonida mantiqiy fikrlashga harakat qiladigan o’quvchilarni tarkib toptirish maqsadida ko’plab mutaxassislar izlanmoqdalar. Ularning fikricha, yuqoridagi masalalarni hal etishning samarali yo’llaridan biri – bu muammoli o’qitishdir. Bunday o’qitishning vazifasi faol bilish jarayoniga undash va tafakkurda ilmiy-tadqiqot uslubini shakllantirishdir. Muammoli o’qitish ijodiy, faol shaxs tarbiyasi maqsadlariga mos keladi. Muammoli darslar bilish jarayonining samaradorligini oshiradi, bilimlarni chuqur, ongli mustahkam o’zlashtirishga, mantiqiy fikrlash va izlanishlar natijasida o’ziga xos kashfiyotlar qilish imkonini beradi. Bunday ta’limdan maqsad o’quvchilarda o’quv topshiriqlarini hal etish, bilish va mantiqiy fikrlash faoliyatini shakllantirishdir. Geometriya materiallarini o’rganish jarayonida o’quvchilarda ziyraklik, diqqat rivojlanadi. Ular geometrik shakllarni tasniflash, tabaqalashtirish, taqqoslashga o’rganadilar. O’lchash malakalarini egallash orqali ularda mustaqillik va ishonch rivojlantiriladi. Maktab geometriya kursining asosiy maqsadi o’quvchilarni mantiqiy "Science and Education" Scientific Journal Volume 1 Issue 3 June 2020 22 www.openscience.uz tafakkur qobiliyatini rivojlantirishga qaratilgan ekan, shu maqsadni amalga oshirish uchun o’qish jarayonida bir qancha isbotlashga va hisoblashga doir masalalarni yechish talab qilinadi. Gеоmеtriya so’zi grеkchа bo’lib, «gео» - yеr, «mеtriya» - o’lchаsh so’zlаridаn tаshkil tоpgаn. Bu «yеrni o’lchаsh» dеgаn fikrni bildirаdi. Gеоmеtriyaning tеkislikdаgi shаkllаrining хоssаlаrini o’rgаnuvchi bo’limi plаnimеtriya dеb аtаlаdi. Gеоmеtriya fаnining vаzifаlаridаn biri shаkllаrni o’zаrо tаqqоslаsh mаsаlаsidir. Shаkllаrni o’zаrо tаqqоslаshdа ulаrning chizmаlаridаn (tаsvirlаridаn) fоydаlаnilаdi. Shаkllаrning chizmаsini hоsil qilishni gеоmеtriyaning eng birinchi mаsаlаsi dеb аytish mumkin. Shаkllаrning bа’zi mа’lum хоssаlаridаn fоydаlаnib, uning yangi хоssаlаrini o’rgаnish gеоmеtriyaning umumiy vаzifаsidir. Bugungi kunga kelib har bir fan o’qituvchisi kompyuterda mavzuga muvofiq dars materialiga mos keladigan qilib, estetik did bilan o’zi xoxlagandek namoyishlar qilishi, ko’rgazmalar tayyorlashi uchun to’liq imkoniyatlar mavjud. Bundan tashqari hozirda maktablarga barcha fanlar bo’yicha turli mavzularda tayyor dasturlar ham yetkazib berilmoqdaki, bulardan o’qituvchilar unumli foydalanishlari kerak. Geometrik masalalarning ayrimlarini yechilishi bilan tanishib chiqaylik. Ushbu masalalarning yechilish usullaridan 11-sinf geometriya darslarida foydalanish mumkin. 1-masala. K nuqtadan sferagacha bo‘lgan eng qisqa masofa 6 sm, eng uzoq masofa esa 16 sm. Berilgan sfera bilan chegaralangan shar katta doirasining yuzini hisoblang. 𝑅 = 55 3 ; 𝑆𝑑𝑜𝑖𝑟𝑎 = 𝜋𝑅 2 = 𝜋 ∙ ( 55 3 ) 2 = 3025𝜋 9 = 336 1 9 𝜋 . 𝐽𝑎𝑣𝑜𝑏: 𝑆𝑑𝑜𝑖𝑟𝑎 = 336 1 9 𝜋 . 2-masala. Uchburchakli muntazam piramidaning balandligi 4 ga, asosining balandligi esa 4,5 ga teng. Piramidaning yon qirrasini toping. 𝐵𝑒𝑟𝑖𝑙𝑔𝑎𝑛: 𝐾𝐴 = 6 𝑠𝑚 ; 𝐾𝐵 = 16 𝑠𝑚 . 𝑆𝑑𝑜𝑖𝑟𝑎 =? 𝑂𝐴 = 𝑂𝐵 = 𝑅 ; 𝑂𝐾 = 𝑂𝐴 + 𝐾𝐴 = 𝑅 + 6 𝑠𝑚 ; 𝑂𝐵2 + 𝐾𝐵2 = 𝑂𝐾2 ; 𝑅 2 + 162 = (𝑅 + 6) 2 ; 𝑅 2 + 256 = 𝑅 2 + 2 ∙ 𝑅 ∙ 6 + 6 2 ; 256 = 12𝑅 + 36 ; 12𝑅 = 256 − 36 ; 12𝑅 = 220 ; 3𝑅 = 55 ; 𝐵𝑒𝑟𝑖𝑙𝑔𝑎𝑛: ℎ = 𝑂𝑆 = 4 ; ℎ1 = 𝐴𝐷 = 4,5 . 𝑙 = 𝐴𝑆 =? 𝐴𝑂 + 𝑂𝐷 = 𝐴𝐷 ; 𝑅 + 𝑟 = 4,5 ; 𝑅 = 𝑎√3 3 ; 𝑟 = 𝑎√3 6 ; 𝑎√3 3 + 𝑎√3 6 = 4,5 ; 2𝑎√3 + 𝑎√3 6 = 4,5 ; 3𝑎√3 6 = 4,5 ; "Science and Education" Scientific Journal Volume 1 Issue 3 June 2020 23 www.openscience.uz 𝑎√3 2 = 4,5 ; 𝑎√3 = 9 ; 𝑎 = 9 √3 = 9∙√3 √3∙√3 = 9√3 3 = 3√3 ; 𝑅 = 𝑎√3 3 = 3√3 ∙ √3 3 = 3 ∙ 3 3 = 9 3 = 3 ; 𝑙 = √𝑅2 + ℎ 2 = √3 2 + 4 2 = √9 + 16 = √25 = 5 . 𝐽𝑎𝑣𝑜𝑏: 𝑙 = 5 . 3-masala. Kesik konusga uchburchakli muntazam kesik piramida ichki chizilgan, ya’ni piramida asoslari kesik konus asoslariga ichki chizilgan (95 – rasm). Kesik konus asoslarining radiuslari 2 sm va 5 sm, balandligi esa 4 sm ga teng. Piramidaning to‘la sirtini toping. 𝑃𝐴𝐵𝐶 = 3𝑎 = 3 ∙ 2√3 = 6√3 𝑠𝑚 ; 𝑏√3 3 = 𝑅2 ; 𝑏√3 3 = 5 ; 𝑏√3 = 15; 𝑏 = 15 √3 = 15√3 3 = 5√3 𝑠𝑚 ; 𝑆𝐴1𝐵1𝐶1 = 𝑏 2√3 4 = (5√3 ) 2 ∙ √3 4 = 75√3 4 𝑠𝑚2 ; 𝑃𝐴1𝐵1𝐶1 = 3𝑏 = 3 ∙ 5√3 𝑠𝑚 = 15√3 𝑠𝑚 ; 𝐴1𝐻 = 𝑅2 − 𝑅1 = 5 𝑠𝑚 − 2 𝑠𝑚 = 3 𝑠𝑚 ; 𝑙 = √ℎ 2 + (𝐴1𝐻) 2 = √4 2 + 3 2 = √16 + 9 = √25 = 5 𝑠𝑚 ; 𝑆𝑦𝑜𝑛 = 1 2 ∙ (𝑃𝐴𝐵𝐶 + 𝑃𝐴1𝐵1𝐶1 ) ∙ 𝑙 = 1 2 ∙ (6√3 + 15√3) ∙ 5 = 5 2 ∙ 21√3 = 105√3 2 𝑠𝑚2 . 𝑆𝑡𝑜 ′ 𝑙𝑎 = 𝑆𝐴𝐵𝐶 + 𝑆𝐴1𝐵1𝐶1 + 𝑆𝑦𝑜𝑛 = 3√3 + 75√3 4 + 105√3 2 = 12√3 + 75√3 + 210√3 4 == 297√3 4 𝑠𝑚2 . 𝐽𝑎𝑣𝑜𝑏: 𝑆𝑡𝑜 ′ 𝑙𝑎 = 297√3 4 𝑠𝑚2 . 4-masala. 𝐴𝐵𝐶𝐷 trapetsiyada ∠𝐴 = 90°, ∠𝐷 = 45°, 𝐵𝐶 = 5 𝑠𝑚, 𝐶𝐷 = 3√2 𝑠𝑚 (94–rasm). Bu trapetsiyaning AB tomoni atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan kesik konusning yon sirti va hajmini toping. 𝐵𝑒𝑟𝑖𝑙𝑔𝑎𝑛: 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶 = 𝑎 ; 𝐴1𝐵1 = 𝐵1𝐶1 = 𝐴1𝐶1 = 𝑏 ; 𝑅1 = 2 𝑠𝑚 ; 𝑅2 = 5 𝑠𝑚 ; ℎ = 𝐴𝐻 = 4 𝑠𝑚 . 𝑆𝑡𝑜 ′ 𝑙𝑎 =? 𝑎√3 3 = 𝑅1 ; 𝑎√3 3 = 2 ; 𝑎√3 = 6 ; 𝑎 = 6 √3 = 6√3 3 = 2√3 𝑠𝑚 ; 𝑆𝐴𝐵𝐶 = 𝑎 2√3 4 = (2√3 ) 2 ∙ √3 4 = 12√3 4 = 3√3 𝑠𝑚2 ; ∠𝐶 = 90° − ∠𝐷 = 90° − 45° = 45° ; ∠𝐶 = ∠𝐷 𝑏𝑜 ′ 𝑙𝑔𝑎𝑛𝑖 𝑢𝑐ℎ𝑢𝑛 𝐶𝐻 = 𝐻𝐷 ; 𝐶𝐻 = 𝐶𝐷 ∙ sin 45° = 3√2 ∙ √2 2 = 3 ∙ 2 2 = 6 2 = 3 𝑠𝑚 ; 𝐵𝐶 = 𝐴𝐻 = 5 𝑠𝑚 ; 𝐴𝐷 = 𝐴𝐻 + 𝐻𝐷 = 5 𝑠𝑚 + 3 𝑠𝑚 = 8 𝑠𝑚 ; "Science and Education" Scientific Journal Volume 1 Issue 3 June 2020 24 www.openscience.uz 𝑟 = 𝐵𝐶 = 5 𝑠𝑚 ; 𝑅 = 𝐴𝐷 = 8 𝑠𝑚 ; ℎ = 𝐶𝐻 = 3 𝑠𝑚 ; 𝑙 = 𝐶𝐷 = 3√2 𝑠𝑚 ; 𝑆𝑘𝑒𝑠𝑖𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑠 𝑦𝑜𝑛 = 𝜋𝑙(𝑟 + 𝑅) = 𝜋 ∙ 3√2 ∙ (5 + 8) = 𝜋 ∙ 3√2 ∙ 13 = 39𝜋√2 𝑠𝑚2 ; 𝑉𝑘𝑒𝑠𝑖𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑠 = 1 3 𝜋ℎ(𝑟 2 + 𝑟𝑅 + 𝑅 2 ) = 1 3 ∙ 𝜋 ∙ 3 ∙ (5 2 + 5 ∙ 8 + 8 2 ) = 𝜋 ∙ (25 + 40 + 64) = = 129𝜋 𝑠𝑚3 . 𝐽𝑎𝑣𝑜𝑏: 𝑆𝑘𝑒𝑠𝑖𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑠 𝑦𝑜𝑛 = 39𝜋√2 𝑠𝑚2 ; 𝑉𝑘𝑒𝑠𝑖𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑢𝑠 = 129𝜋 𝑠𝑚3 . O’quvchilarning mantiqiy fikrlashini rivojlanishida streometriya kursining imkoniyati katta. Haqiqatdan ham geometriyaning streometriya kursi deduktiv asosga qurilgan bo’lib, bu dastur o’z-o’zidan o’quvchilarning mantiqiy madaniyatini o’stirish uchun maqbul tarzda tuzilgan. Bugungi kunga kelib har bir fan o’qituvchisi kompyuterda mavzuga muvofiq dars materialiga mos keladigan qilib, estetik did bilan o’zi xoxlagandek namoyishlar qilishi uchun ko’rgazmalar tayyorlashi uchun to’liq imkoniyatlar mavjud. Bundan tashqari hozirda maktablarga barcha fanlar bo’yicha turli mavzularda tayyor dasturlar ham yetkazib berilmoqdaki, bulardan o’qituvchilar unumli foydalanishlari kerak. Mazkur maqolada geometrik masalalar orqali o’quvchining shaxsiy sifatlarini rivojlantirish metodlari, matematik masalalar asosida o’quvchida rivojlanadigan sifatlari, o’quvchi shaxsiy sifatlarini rivojlantiruvchi masalalari bayon etildi.
   
3. 
   Geometrik masalalarning turlari, hisoblashga oid masalalar.
   
4. 
   Geometrik masalalarning turlari, isbotlashga doir masalalar.
   
5. 
   Ko‘pyoqlilar. Ko‘pyoqlilar haqida Eyler teoremasi.
   

2.