Va kommunikatsiyalarini rivojlantirish vazirligi muhammad al-xorazmiy nomidagi toshkentaxborot texnologiyalari universiteti qarshi fliali

O’ZBEKISTON REPUBLIKASI AXBOROT TEXNOLOGIYALARI
VA KOMMUNIKATSIYALARINI RIVOJLANTIRISH VAZIRLIGI
MUHAMMAD AL-XORAZMIY NOMIDAGI TOSHKENTAXBOROT
TEXNOLOGIYALARI UNIVERSITETI QARSHI FLIALI

“ TT va KT “ FAKULTETI 1-BOSQICH AX 11-21 GURUX
TALABASINING DEFFERENSIAL TENGLAMALAR FANIDAN
MUSTAQIL ISH
Bajardi: Mustafoyev Bahrom
Qabul qildi: Soibnazarov J.
QARSHI – 2022

MAVZU: Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemasini o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish

Tayanch so`z va iboralar: Differentsial tenglamalarning normal sistemasi.
O’zgarmas koeffitsientli chiziqli differentsial tenglamalar sistemasi. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemasi, o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli, funksiyalarning chiziqli kombinatsiyasi, umumiy yechim, xususiy yechim.

Reja.

1. 
   Differentsial tenglamalarning normal sistemasi.
   

2. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemasini o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish.

3.Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemasini o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish. Bizga

 ^dx1 _{ a}


x  a
x  a
x  f

(t),


^ dt
_ dx₂
11 1
 a x
12 2

• 
  a x
  

1n n 1
 a x  f (t),

_ dt
21 1
22 2
2n n 2
(10)

^


_ dx_{n  a}


x  a
x  a
x  f
(t)

sistema berilgan bo’lsin.

^ dt
n1 1
n 2 2
nn n n

Faraz qilaylik, unga mos keluvchi bir jinsli (7) tenglamalar sistemasining umumiy yechimi ma’lum bo’lsin:

x₁  C₁ x₁₁  C₂ x₁₂  C_n x_1n ,


x₂  C₁ x₂₁  C₂ x₂₂  C_n x_2n ,



x_n  C₁ x_n1  C₂ x_n2  C_n x_nn.

Berilgan (10) sistemaning umumiy yechimini

x₁  C₁ (t)x₁₁  C₂ (t)x₁₂  C_n (t)x_1n ,

x₂  C₁ (t)x₂₁  C₂ (t)x₂₂  C_n (t)x_2n ,

x_n  C₁ (t)x_n1  C₂ (t)x_n2  C_n (t)x_nn

ko’rinishda izlaymiz, bu yerda
C₁ (t), C₂ (t),…, C_n (t)
lar topilishi lozim bo’lgan

noma’lum funktsiyalar. Bularni (10) ga qo’yamiz, u holda uning i -tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

C ^' x

• 
  C ^' x
  

 C ^' x

• 
  C x^'  a x
  

• 
  a x
  

 a x


1 i1
2 i 2
n in
1 1 11 11
12 12
1n 1n

n
 C_n
x^'

• 
  a_n1
  

^xn1

• 
  a_n2
  

^xn2
 a_nn
x_nn 


f_i (t) _.

Qavs ichidagi yig’indilarning hammasi aynan nolga teng, chunki barcha

^{k  1,2,…, n} lar uchun ^{xk1, xk2 ,…, xkn } lar bir jinsli (7) sistemaning
yechimlaridir. Shuning uchun

C ^' x

• 
  C ^' x
  

 C ^' x  f (t) _,
i  1,2,…, n
(11)

1 i1
2 i 2
n in i

sistemaga ega bo’lamiz. ^{xk1, xk2 ,…, xkn }, uchun bu sistemaning asosiy determinanti
k  1,2,…, n

lar chiziqli erkli bo’lgani

x₁₁ …

  . …

x_n1 …
^x1n

.

^xnn

 0.

C₁ '(t),C₂ '(t),…,C_n '(t)
larni (11) dan aniqlab, integrallab chiqsak, barcha

C₁ (t), C₂ (t),…, C_n (t)
lar, va demak, (10) ning umumiy yechimi to-piladi.

8 - m i s o l.
^dx  2x  4 y  1  4t, ^dy  x  y  ³ t ² _{sistemani yeching.}

dt dt 2
Yechish. Avval bir jinsli sistemani yechib olamiz:
^dx  2x  4 y  0, ^dy  x  y  0.
dt dt
Buning uchun birinchi tenglamani differentsiallaymiz:

d ² x _
dt ²
₂ dx dt

• 
  ₄ dy
  

dt
 0.

Ikkinchi tenglamadan
^dy  y  x dt

ni va birinchi tenglamadan

4 y   ^dx  2x _ni

dt

d ² x _ dx _{ }

aniqlab, bu tenglamaga qo’ysak:
dt ²
6x 0
dt

1
o’zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli tenglama hosil bo’ladi. Uning umumiy

yechimi
x  C e^2t

• 
  C₂
  

_e3t

bo’ladi. Buni

y   ^{1 dx}  ¹ x

ga qo’ysak:

y  C e^2t  ¹ C


_e3t

ham topiladi.

4 dt 2
1 ₄ 2

Endi berilgan bir jinsli bo’lmagan sistemani yechish uchun

^{x  C (t)e2t  C (t)e3t} , y  C (t)e^2t  ¹ C
(t)e^3t
(12)

^{1 2} 1 ₄ 2

deb faraz qilamiz. (12) ni berilgan sistemaga qo’ysak:

C ^' (t)e^2t  4C ^' e^3t  1  4t,  C ^' (t)e^2t  C ^' e^3t  ³ t ²

1 2 1

1  4t  6t ²

2 ₂

1  4t  ³ t ²

sistema hosil bo’ladi. Bundan ^{C ' (t) }
_e2t _,
C ^' (t)  ² e^3t .

1 ₅


t  3t ²
2 ₅
t  ¹ t ²

Bularni integrallasak:
C₁ (t) 
e^2t  C ,

1
5
C (t)  ² e^3t  C
2 ₅ 2

hosil bo’ladi. Bularni (12) ga qo’yib sistemaning umumiy yechimini topamiz:

^{x  C e2t  C e3t  t  t 2} , ^{y  C e2t  1 Ce3t  1 t 2 .}
1 2 ¹ _{4 2}

13.2. Bir jinsli bo’lmagan chiziqli o’zgarmas koeffitsientli differentsial tenglamalar sistemasini o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan yechish. Bizga

 ^dx1 _{ a}


x  a
x  a
x  f

(t),


^ dt
_ dx₂
11 1
 a x
12 2

• 
  a x
  

1n n 1
 a x  f (t),

_ dt
21 1
22 2
2n n 2
(10)

^


_ dx_{n  a}


x  a
x  a
x  f
(t)

sistema berilgan bo’lsin.

^ dt
n1 1
n 2 2
nn n n

Faraz qilaylik, unga mos keluvchi bir jinsli (7) tenglamalar sistemasining umumiy yechimi ma’lum bo’lsin:

x₁  C₁ x₁₁  C₂ x₁₂  C_n x_1n ,


x₂  C₁ x₂₁  C₂ x₂₂  C_n x_2n ,



x_n  C₁ x_n1  C₂ x_n2  C_n x_nn.

Berilgan (10) sistemaning umumiy yechimini

x₁  C₁ (t)x₁₁  C₂ (t)x₁₂  C_n (t)x_1n ,


x₂  C₁ (t)x₂₁  C₂ (t)x₂₂  C_n (t)x_2n ,

x_n  C₁ (t)x_n1  C₂ (t)x_n2  C_n (t)x_nn

ko’rinishda izlaymiz, bu yerda
C₁ (t), C₂ (t),…, C_n (t)
lar topilishi lozim bo’lgan

noma’lum funktsiyalar. Bularni (10) ga qo’yamiz, u holda uning i -tenglamasi quyidagi ko’rinishda bo’ladi:

C ^' x

• 
  C ^' x
  

 C ^' x

• 
  C x^'  a x
  

• 
  a x
  

 a x


1 i1
2 i 2
n in
1 1 11 11
12 12
1n 1n

n
 C_n
x^'

• 
  a_n1
  

^xn1

• 
  a_n2
  

^xn2
 a_nn
x_nn 


f_i (t) _.

Qavs ichidagi yig’indilarning hammasi aynan nolga teng, chunki barcha

^{k  1,2,…, n} lar uchun ^x_k1 ^{, x}_{k 2} ^{,…, x}_kn ^ lar bir jinsli (7) siste-maning

yechimlaridir. Shuning uchun
C ^' x

• 
  C ^' x
  

 C ^' x  f (t) _,
i  1,2,…, n

(11)

1. 
   i1
   
2. 
   i 2
   

n in i

sistemaga ega bo’lamiz. ^{xk1, xk2 ,…, xkn }, uchun bu sistemaning asosiy determinanti
k  1,2,…, n
lar chiziqli erkli bo’lgani

x₁₁ …