В. А. Никитин с. В. Бойко

h₀ , величину этой части стержня, запишем указанное
 d ²

mg 
_ h₀  g
, (17.5)

откуда искомая глубина погружения ареометра будет вычисляться по формуле

(17.6)


_{h } 4 m

⁰  d ² 
, (17.6)

Как видим, под действием мениска ареометр погружается довольно значительно, так что влиянием мениска нельзя пренебречь.
Формулу (17.6) можно представить и в другом виде, если в нее подставить значение т из уравнения (17.4). Тогда получим формулу (17.7)

h ₀ 
4 a
_d , (17.7)

Формула (17.7) подтверждает, что в двух жидкостях, имеющих одинаковую плотность, но различную капиллярную постоянную, один и тот же ареометр даст разные показания. Если а₁ и а₂ - капиллярные постоянные жидкостей и а₁ >а₂ , то глубина погружения ареометра под действием мениска в первой жидкости будет больше, чем во второй, причем разность глубин

согласно формуле (17.7) составит
⁴ * d
_d 1
 d ₂ .

Таким образом, глубина погружения ареометра прямо пропорциональна капиллярной постоянной жидкости и обратно пропорциональна диаметру стержня ареометра. Отсюда следует, что в жидкости с большей капиллярной постоянной из-за большего погружения ареометр будет показывать меньшую, чем следует, плотность, так как значения плотности на шкале ареометра растут сверху вниз.

Уравнение равновесия ареометра в жидкости.

Рассмотрим силы, действующие на ареометр, плавающий в жидкости, и выведем уравнение равновесия ареометра, устанавливающее зависимость между основными размерами ареометра и плотностью жидкости.

Введем следующие обозначения:

• 
  р - плотность жидкости;
  
• 
  а - капиллярная постоянная жидкости;
  

-  ₀

• 
  объем всего ареометра;
  

• 
  - объем корпуса ареометра и части стержня до нижнего штриха шкалы;
  
• 
  l - расстояние от нижнего штриха шкалы до уровня жидкости;
  

- s - площадь поперечного сечения стержня;

• 
  L - длина окружности сечения стержня;
  
• 
  т - масса ареометра;
  
• 
  D - плотность воздуха;
  
• 
  g - ускорение свободного падения.
  

Для равновесия ареометра в жидкости необходимо, чтобы существовало равенство между силами, погружающими ареометр в жидкость, и силами, выталкивающими его из жидкости.
Допустим, что жидкость имеет ту температуру, для которой градуирован ареометр. Силы, погружающие ареометр в жидкость, складываются из веса

ареометра
G_a  m * g и веса мениска
G_M  L * a *  * g
(рисунок 17.3).

Выталкивающая сила равна сумме следующих трех сил: веса жидкости в
объеме погруженной части ареометра P_a    l * s*  * g ; веса воздуха в объеме
непогруженной части стержня P_c  ₀    l * s* D * g ; веса воздуха в объеме
мениска [последний определяется делением массы мениска, на плотность
жидкости] P_m  L * a * D * g .
Условие равновесия ареометра можно выразить в виде (17.8)

m  l  a    g
 
 l  s    ₀  
 l  s D  L  a  D g _,

или (17.8)


m   ₀  D  L  a    D    l  s   D_,

Принимая во внимание, что разность
m   ₀ * D представляет собой массу

ареометра за вычетом массы воздуха в объеме ареометра, т.е. массу ареометра М, определенную взвешиванием в воздухе, получим следующее окончательное уравнение (17.9)


M  L  a    D    l  s   D _{, (17.9)}

Рисунок 17.3 - Силы, действующие на ареометр

Рисунок 17.4 - Схема к расчету шкалы ареометра