Uzluksiz va munosib kasrlar

Uzluksiz va munosib kasrlar
Bizga va butun sonlar berilgan bo‘lsin. Bu sonlar uchun Yevklid algoritmini qo‘llasak, quyidagi tengliklarni hosil qilamiz:

Natijada nisbatni quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

Berilgan nisbatning yuqoridagi ko‘rinishiga uning uzluksiz kasrga yoyilmasi deyiladi. Odatda uzluksiz kasr quyidagicha belgilanadi:

.

Uzluksiz kasrda quyidagi uch hil holat bo‘lishi mumkin:

1) bu holda bo‘ladi;

2) bu holda bo‘ladi;

3) bo‘lsa, nisbatni

shaklda yozib olamiz. Bu yerda to‘g‘ri musbat kasr bo‘lib, natijada quyidagi yoyilma hosil bo‘ladi:

Misol 1. kasrni uzluksiz kasrga yoying.

Berilgan ratsional sonning munosib kasrlari deb,

,

kasrlarga aytiladi. Bu munosib kasrlarning eng ohirgisi berilgan ratsional kasrga teng bo‘ladi.

Munosib kasrlarni hisoblash uchun deb quyidagilarni yozib olamiz:

Matematik induksiyaga asosan

tenglikni olamiz.

Bu yerda

.

Ushbu bog‘lanish munosib kasrni hisoblash uchun xizmat qiladigan rekkurent formuladir. Quyidagi sxema istalgan va sonlarni hisoblash imkonini beradi.

						…
						…
						…
	0	1	2	3	4	…	n

Ushbu va sonlar orasida quyidagi bog‘liqlik mavjud:

Bu formuladan ekanligi osongina kelib chiqadi.

Misol 2. ga mos ratsional son topilsin.

		16	17	50	67	184
		1	1	3	4	11

Demak, berilgan uzluksiz kasr uchun



Tub sonlar. Arifmetikaning asosiy qonuni
1-ta’rif. O‘zidan va birdan boshqa bo‘luvchilari bo‘lmagan, birdan katta natural son tub son deyiladi. Natural bo‘luvchilari soni ikkitadan ortiq bo‘lgan birdan farqli natural songa murakkab son deyiladi.

2-teorema. Agar ( ) butun sonning birdan katta bo‘lgan bo‘luvchilari ichida eng kichigi bo‘lsa, u holda tub sondir.

Isbot. Haqiqatdan, agar soni ning bo‘luvchisi bo‘lib, bo‘lsa, u holda soni ning ham bo‘luvchisi bo‘ladi. Bu esa ning eng kichik bo‘luvchi ekanligiga zid. Demak, yoki bo‘ladi, ya’ni tub son. 

3-teorema. Har qanday son va tub son uchun yoki

Isbot. tub sonning bo‘luvchilari 1 va bo‘lganligi uchun va sonlari umumiy bo‘luvchilari 1 yoki bo‘ladi. Agar, soni ularning umumiy bo‘luvchisi bo‘lsa, bo‘ladi, aks holda 

4-teorema. Agar ko‘paytma biror tub songa bo‘linsa, bu ko‘paytuvchilardan kamida bittasi shu tub songa bo‘linadi, ya’ni bo‘lsa, u holda yoki .

Isbot. Haqiqatan, agar soni ga bo‘linmasa, bo‘lib, ekanligidan kelib chiqadi.

5-teorema. Tub sonlar soni cheksiz ko‘pdir.

Isbot. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni tub sonlar cheklita bo‘lib, ular bo‘lsin. Ushbu sonni qaraymiz. a soni tub sonlarning hech biriga bo‘linmaydi. Agar a tub son bo‘lsa, demak, u berilgan tub sonlardan farqli tub son bo‘ladi. Agar a tub son bo‘lmasa, bu son tub sonlardan farqli boshqa bir tub songa bo‘linadi. Demak, xar ikkala holda ham tub sonlardan farqli bo‘lgan tub son topiladi. Bu farazimizga ziddir. 

Endi arifmetikaning asosiy teoremasi deb yuritiladigan quyidagi teoremani keltiramiz.

6-teorema. Xar qanday birdan katta butun son tub sonlarning ko‘paytmasi shaklida yoziladi va ko‘paytma ko‘paytuvchilarning yozilish tartibi aniqligida yagonadir.

Isbot. Isbotni matematik induksiya metodi yordamida ko‘rsatamiz. tub son bo‘lganligi uchun teorema sharti o‘rinli.

Aytaylik, bo‘lsin. Agar tub son bo‘lsa, teorema sharti o‘rinli. Agar tub son bo‘lmasa, shunday tub son mavjudki, ya’ni bo‘ladi. Matematik induksiya faraziga asosan, soni tub sonlar ko‘paytmasi shaklida ifodalanadi, ya’ni , demak

yoyilmani hosil qilamiz.

Endi yoyilmaning yagonaligini ko‘rsatamiz. Buning uchun teskarisini faraz qilamiz, ya’ni son boshqa

yoyilmaga ega bo‘lsin. Bu ikki yoyilmadan

hosil bo‘ladi. Bu tenglikning chap tomonidan o‘ng tomoniga qarab mulohaza yuritib, 36.4-teoremani qo‘llasak, chap tomondagi biror-bir tub son o‘ng tomondagi biror-bir tub songa bo‘linadi. Bundan esa ekanligi kelib chiqadi. 

Ma’lumki, sonining tub sonlarga yoyilmasidagi ko‘paytuvchilar orasida o‘zaro tenglari ham bo‘lishi mumkin. Faraz qilaylik, sonining yoyilmasida tub son marotaba ishtirok etsin. U holda yoyilma

ko‘rinishga keladi. Bu yoyilmaga sonining kanonik ko‘rinishi deb ataladi.

Sonlarning kanonik yoyilmasi berilgan sonlarning EKUB va EKUKlarini topishda qo‘llaniladi. Bizga va sonlarning kanonik shakllari berilgan bo‘lsa,

u holda

va

bo‘lib, bu yerda va .

Misol 1. 24 va 50 sonlarni EKUB va EKUK larini toping. Buning uchun ularning kanonik shaklga keltiramiz:

.

bo‘lib,

bo‘ladi. Xuddi shunday

bo‘lib,

natijaga ega bo‘lamiz.