ЎҚув жараёнини амалга ошириш технологияси: Метод: “Венн диаграммаси”

f(α) = cos2α – cos3α < 0 tengsizlikni yechamiz.

Yechish.

1) cos2α ning davri: cos(2α + 2π) = cos(α + T1), bundan

2α + 2π = 2(α + T1), T1 = π; shu kabi cos3α ning davri T2 = 2π/3. Bu sonlarning eng kichik umumiy bo’linuvchisi, ya’ni T0 = 2π soni f(x) funksiyaning asosiy davri bo’ladi;

Trigonometrik tengsizliklarni intervallar usuli bilan yechish.

• 2) f(α) = 0 tenglama ildizlari 2α = ± 3α + 2πk, k€Z munosabat bo’yicha aniqlanadi. Bizga ular ichidan (0; T0) oraliqda yotganlarini aniqlash yetarli,

qolganlari T0 davr bilan takrorlanadi. Oraliqning α = 0 chap uchida f(0) = 0, ya’ni f(x) < 0 tengsizlik bajarilmaydi. Demak, oraliqning chap uchi ochiq qoladi. Oraliqning ichida yotgan ildizlarini topamiz. Shu maqsadda munosabatdagi k ga ketma-ket 0, 1, 2,… qiymatlar berish va α ning qiymatlari ichidan (0; 2π) intervalda yotganlarini ajratish kerak. Ular: 2π/5, 4π/5, 6π/5, 8π/5.

Trigonometrik tengsizliklarni intervallar usuli bilan yechish.

• 3) f funksiya son o’qida uzluksiz;
• 4) (0; 2π) oraliq (0; 2π/5], [2π/5; 4π/5], [4π/5; 6π/5], [6π/5; 8π/5], [8π/5; 2π) intervallarga ajraladi;
• 5) (0; 2π/5] oraliqdan sinash nuqtasi sifatida π/3 ni olaylik. Unda f(π/3) = cos2π/3 – cos3π/3 = -1/2 + 1 > 0. Demak, bu oraliqda berilgan tengsizlik bajarilmaydi. Shu tarzda har bir oraliqlarda tekshirib chiqqach, tengsizlik [2π/5; 4π/5], [6π/5; 8π/5] oraliqlarda bajarilishini ko’rishimiz mumkin. Demak, umumiy yechim shu oraliqlar kesishmasidan iborat:

(2π/5 + 2πk; 4π/5 + 2πk) (6π/5 + 2πk; 8π/5 + 2πk), k€Z