Urganch davlat universiteti fizika

1-natija.To’g’ri burchakli uchburchakning yuzi uning katetlari ko’paytmasining yarmiga

teng.

2-natija.Ikkita uchburchak yuzalarining o’zaro nisbati ularning asoslari bilan

balandliklari nisbati kabidir.

Demak, uchburchak yuzasini hisoblash asosga tushirilgan balandlikni hisoblash

masalasiga keladi.

Berilgan ABC uchburchakning tomonlari a,b,c bo’lsin.Uning c uchidan AB tushirilgan

CD=h balandlikni topamiz.

c

Balandlik asosi D nuqtaning AB kesmaga nisbatan qanday joylashishiga qarab , 3 hol

bo’ladi.

1-h o l. D nuqta AB kesmaning ichki nuqtasi bo’lsin. Agar AD=x belgilash kiritsak, u

holda DB=c-x bo’ladi.

3-chizma.

∆퐴퐷퐶 va∆퐵퐷퐶 lar to’g’ri burchakli uchburchaklar,Pifagor teoremasiga ko’ra :

CD2=b2-x2 , CD2=a2-(c-x)2.

Bundan quyidagi tenglikni hosil qilamiz:

-x =a -(c-x)

b

2

2

2

2

Bu tenglikdan x ni topsak ,

1

2

2

2 .

푥 = (푏 + 푐 − 푎 )

2푐

Natijada h =CD uchun ushbu tenglikni hosil qilamiz:

c

¹ √4푏2푐2 − (푏2 + 푐2 − 푎2)2.

ℎ =

푐

2푐

Uchburchakning yarim perimetrini p bilan belgilaymiz, ya’ni a+b+c=2p bo’ladi.Shuni

e’tiborga olib ildiz ostidagi ifodani soddalashtirsak:

1

2

ℎ_푐 = √16푝(푝 − 푎)(푝 − 푏)(푝 − 푐) = √푝(푝 − 푎)(푝 − 푏)(푝 − 푐).

2푐

푐

H va h balandliklar ham xuddi shu kabi topiladi.

a

b

2-h o l. D nuqta AB tomon davomida yotadi, ya’ni DB=c+x.Bu holda ham qayd qilingan

natija hosil bo’ladi.

4-chizma.


3-h o l. D nuqta B nuqta bilan, ya’ni h=a balandlik katet bilan ustma-ust tushadi.ABC

uchburchak to’g’ri burchakli bo’ladi.

5-chizma.

Yuqorida uchburchak yuzi uchun

1

1

1

푆 = 푎 ∙ ℎ = 푏 ∙ ℎ = 푐 ∙ ℎ formulani keltirgan edik.Bu ifodaga balandlikning

∆

푎

푏

푐

2

2

2

uchburchak tomonlari orqali ifodasini qo’yib soddalashtirsak,ushbu formulani hosil

qilamiz:

푆_∆ = √푝(푝 − 푎)(푝 − 푏)(푝 − 푐)

Bu formula milodning I asrida yashagan qadimgi yunon olimi iskandariyalik Geron

tomonidan topilgan bo’lib, u Geron formulasi deb ataladi.

Bu formula uchburchakning uchala tomoni uzunligi ma’lum bo’lgan holda uning yuzini

hisoblash uchun ishlatiladi.

Uchburchakning ikki tomoni va ular orasidagi burchak berilgan bo’lsa ,uchburchak

yuzasi bu tomonlar va ular orasodagi burchak sinusi ko’paytmasining yarmiga teng:

푎푏

푆 = ₂

2

푎 √3

Xususiy holda muntazam uchburchak yuzasi 푆 =

formula bilan hisoblanadi.

4

Uchburchak yuzasini unga ichki va tashqi chizilgan aylana radiuslari orqali hisoblash

formulalari:

푎푏푐

푆 = _4푅

푎 + 푏 + 푐

푟

2

푣푎

푆 =

Bu yerda R- tashqi chizilgan aylana radiusi, r- ichki chizilgan aylana radiusi.


2.Trapetsiya va parallelogrammning yuzi

Ma’lumki, har qanday ko’pburchakni diagonallar o’tkazish orqali uchburchaklarga ajratish

mumkin.Bundan ixtiyoriy ko’pburchakning yuzini hisoblash uchun uni uchburchaklarga

ajratib olish kerakligi kelib chiqadi.Uchburchak yuzalari yig’indisi ko’pburchak yuziga

teng bo’ladi. Parallelogramm va trapetsiya yuzini hisoblashda shu usuldan foydalanamiz.

Teorema.Trapetsiyaning yuzi uning asoslari yig’indisining yarmi bilan balandligi

ko’paytmasiga teng:

푎 + 푏

푆 =

∙ ℎ

2

I s b o t. Asoslari AD=a, BC=b va balandligi CE=h bo’lgan ABCD trapetsiyani qaraylik:

6-chizma.

Trapetsiyada AC diagonal o’tkazamiz.

Bunda ABCD trapetsiya ABC vaACD uchburchaklarga ajraladi. Trapetsiya yuzi esa bu

uchburchaklar yuzalari yig’indisiga teng bo’ladi. Parallel to’g’ri chiziqlar orasidagi masofa

o’zgarmas bo’lgani uchun ABC va ACD uchburchaklarning balandliklari o’zaro teng.

1

1

1

1

Bundan 푆_ABC= 퐵퐶 ∙ 퐶퐸 = 푏 ∙ ℎva S = 퐴퐷 ∙ 퐶퐸 = 푎 ∙ ℎ

ACD

2

2

2

2

Trapetsiyaning yuzi S=S +S_ACD , ya’ni:

ABC

1

1

푎 + 푏

푆 = 푎 ∙ ℎ + 푏 ∙ ℎ =

ℎ

2

2

2

Ya’ni trapetsiya yuzi uchun S=^푎+푏 ℎ formula o’rinli ekan.Teorema isbot bo’ldi.

2

Endi parallelogram yuzini hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz.Parallelogrammning

istalgan tomonini uning asosi deb olish mumkin, u holda ushbu asosdan qarshisidagi

tomongacha bo’lgan masofa uning balandligi bo’ladi.

Teorema.Parallelogrammning yuzi uning asosi bilan balandligi ko’paytmasiga teng:

푆 = 푎 ∙ ℎ


Bu teoremaning isboti ham parallelogrammni uning diagonali orqali uchburchaklarga

ajratish usuli bilan keltiriladi.

Parallelogram yuzi uchun

푆 = 푎 ∙

formula ham o’rinli.

Qavariq to’rtburchakning yuzini hisoblashda uning diagonallari va ular orasidagi burchak

푑 ∙푑

berilgan holda 푆 =

1

2

formula bilan hisoblab topish mumkin.Bu formula

2

uchburchak yuzasi uning ikki tomoni va ular orasidagi burchak sinusi ko’paytmasining

yarmiga teng ekanligidan kelib chiqadi.

Romb yuzini hisoblash formulalari:

푑 ∙푑

1

2

푆 = 푎²

푆 = 푎 ∙ ℎ

푆 =

푆 = 2푎 ∙ 푟

2

3.Ko’pburchakning yuzi

Ko’pburchakning yuzini hisoblash uchun uni o’zaro kesishmaydigan , ya’ni umumiy

ichki nuqtalarga ega bo’lmagan uchburchaklarga ajratish va ularning yuzalari yig’indisini

hisoblash mumkin.Ba’zan esa ko’pburchakni boshqacha ajratishlardan foydalanib

hisoblash qulay bo’ladi.

Xususiy holda muntazam ko’pburchak yuzalarini hisoblash formulalarini o’rganaylik.

Muntazam ko’pburchakka ichki aylana chizish mumkin bo’lgani uchun uning yuzasini

ichki chizilgan aylana radiusiga bog’liq holda hisoblash formulalarini keltiramiz:

1.Muntazam beshburchakning yuzi.Muntazam beshburchak tomoni a ga va unga ichki

chizilgan aylana radiusi r ga teng bo’lsin.Ichki chizilgan aylana markazi O nuqtani

beshburchakning barcha A,B,C,D,E uchlari bilan tutashtirsak, beshta uchburchak hosil

bo’ladi:

7-chizma.

Bu uchburchak yuzalari yig’indisi beshburchak yuziga teng , ya’ni

푎

푎

푎

푎

푎

5푎

S_ABCDE=S_AOB+S_BOC+S_COD+S_DOE+S_AOE= ∙ 푟 + ∙ 푟 + ∙ 푟 + ∙ 푟 + ∙ 푟 = 푟 = 푝 ∙ 푟bu

2

2

2

2

2

2

yerda p- beshburchakning yarim perimetri.


2.Muntazam oltiburchakning yuzi.Bizga tomoni a ga, ichki chizilgan aylana radiusi r ga

teng bo’lgan muntazam oltiburchak berilgan bo’lsin.

Ichki chizilgan aylana markazi O nuqtadan oltiburchak uchlariga kesmalar o’tkazamiz.

Natijada oltiburchak bir-biriga teng bo’lgan oltita uchburchakka ajraladi.Muntazam

oltiburchak yuzasi esa berilgan oltita uchburchak yuzasiga teng va ular muntazam

uchburchaklardan iborat bo’ladi,ya’ni ∆퐴푂퐵, ∆퐵푂퐶, ∆퐶푂퐷, ∆퐷푂퐸, ∆퐸푂퐹, ∆퐴푂퐹 larning

2

푎 √3

har birining yuzasi

ga teng ,bundan berilgan ABCDEF muntazam oltiburchak yuzasi

4

2

2

푎 √3

3푎 √3

formula kelib chiqadi.

2

uchun 푆 = 6 ∙

=

4

8-chizma.

Muntazam oltiburchak tomoni tashqi chizilgan aylana radiusiga teng ekanligini hisobga

2

3푅 √3

olsak, 푆 =

formula ham o’rinli,bu yerda R-tashqi chizilgan aylana radiusi.

2

1-misol.Yon tomoni 12 ga teng bo’lgan teng yonli trapetsiyaga radiusi 5 ga teng bo’lgan

aylana ichki chizilgan. Trapetsiyaning yuzini toping.

Yechish.Ma’lumki, teng yonli trapetsiyaga ichki chizilgan aylananing radiusi trapetsiya

balandligining yarmiga teng bo’ladi. U holda trapetsiyaga ichki chizilgan aylananing

radiusi 5 gateng ekanidan uning balandligi DE=10 bo’ladi.

C

D

12

9-chizma.

A

E

B

Trapetsiyaga ichki aylana chizish mumkinligidan uning qarama-qarshi tomonlari

yig’indisi teng ekanligi kelib chiqadi: AB+CD=AC+BD. U holda AB+CD=12+12=24.

Trapetsiyaning yuzi uning asoslari yig’indisining yarmi bilan balandligining

퐴퐵+퐶퐷

2

24

∙ 퐷퐸 == ∙ 10 = 120. Demak, trapetsiyaning yuzi

ko’paytmasiga teng: 푆_퐴퐵퐶퐷

=

2

120 kv.birlikka teng ekan.

2-misol.Radiusi 2 ga teng doiraning, shu doiraga ichki chizilgan muntazam oltiburchakdan

tashqaridagi qismining yuzini toping.

E

D

F

C

10-chizma.

A

B

Ma’lumki, muntazam oltiburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi unig tomoniga teng

2

3푅 √3

bo’ladi, ya’ni a=R=2. Muntazam oltiburchakning yuzi esa 푆 =

formula bilan

2

2

3∙2 √3

hisoblanishidan uning yuzi S=

= 6 3. Oltiburchakka tashqi doiraning yuzi esa 푆 =

√

푑

2

2

^{U holda bizdan so’ralayotgan soha yuzasi} 푆^′=4 ∙ 휋 − 6√3.

휋 ∙ 푅 = 4휋.

Demak, masalaning javobi 4 ∙ 휋 − 6 3.

√


2-