Unitar unimodulli guruh su(2)

Isospin guruhi SU(2)
Keling, guruhlar nazariyasi va ularni elementar zarralar fizikasida ko'rsatishning muhim qo'llanilishidan birini ko'rib chiqaylik. Guruhlar nazariyasi yordamida elementar zarralarni tasniflash haqida bo'ladi. Oddiy misol sifatida proton va neytronni ko'rib chiqing. Proton va neytron kuchli o'zaro ta'sirga nisbatan o'xshash massa va o'xshash xususiyatlarga ega ekanligi uzoq vaqtdan beri ma'lum. Shuning uchun kuchli o'zaro ta'sirlarda Geyzenberg ularni bir davlat sifatida ko'rib chiqishni taklif qildi. Lekin buning uchun biz eng past notrivial tasvir 2 o'lchamga ega bo'lgan guruhni topishimiz kerak. Bu erda biz tasvirlashning asosi sifatida 2 o'lchovli spinorga ega bo'lgan SU(2) guruhining formalizmini qo'llashga harakat qilamiz. SU(2) _I izotopik transformatsiyalar guruhini kiritamiz . Nuklonni ushbu xayoliy izotop fazoda ikkita proyeksiyaga ega ( I _{3 = 1/2} proton va neytron I ₃ = -1/2) izotopik spin I = 1/2 bo'lgan holat sifatida aniqlaymiz , bu bilan deyarli to'liq o'xshashlik yaratamiz. normal fazoda spinning 1/2 qismini kiritish. Odatda, SU (2) _{I guruhining} ikki o'lchovli tasvirining asosi izotopik spinor sifatida yoziladi.

,

(1,45)

bu proton va neytron sifatida belgilanganligini anglatadi

(1,46)

2 o'lchovli tasvir 2 × 2 Pauli matritsalari orqali amalga oshiriladi t _k , k = 1, 2, 3 ( s _{i , i = 1, 2, 3} o'rniga , biz oddiy fazoda spinning 1/2 qismini tasvirlash uchun qoldiramiz. ), izotopi operatori
t ⁺ = 1/2( ₁ + i ₂ ) neytronni protonga, t ^- = 1/2(t ₁ - it ₂ ) esa mos ravishda protonni neytronga aylantiradi. Massalari ~ 1320 MeV bo'lgan spinining 1/2 m ^{0,- kaskad giperonlarining} izo- dubleti ham ma'lum. Massalari ~ 490 MeV bo'lgan 0 K ^+,0 spinli g'alati mezonlarning dubleti va ularning antizarralari K ^{0,- antidubleti uzoq vaqtdan beri ma'lum} .
Ammo I = 1 bo'lgan zarralarni qanday tasvirlash mumkin? Aytaylik, massalari m(p ^± ) = 139,5675 + 0,0004 MeV, m(p ⁰ ) = 134,9739 + 0,00 va deyarli bir xil xossalarga ega bo'lgan manfiy paritetning spin nolga teng bo'lgan p - mezonlarining uchligi p ⁺ , p ^- , p ⁰ kuchli o'zaro ta'sirlar nuqtai nazaridan? (Izotopik) aylanishlar guruhida biz izotopik vektorni asos qilib qo'yamiz (bu erda haqiqiy psevdoskalar maydonlar p _1,2 zaryadlangan pionlar bilan p ^{± =} p ₁ formulalari bo'yicha bog'langan. + ip ₂ va p ⁰ = p ₃ ), generatorlari A _k , k = 1, 2, 3, algebra tasviri va matritsa R _{k , k = 1, 2, 3 guruhli} ko‘rinish sifatida, bu yerda _k burchaklar izotopik fazoda aniqlanadi.
Oldingi bo'lim natijalaridan foydalanib, SU(2) _{I dagi} real maydonlarning izotopik uchligi shakl asosi bilan bog'langan.

,

(1,47)

bu yerda zaryadlangan pionlar murakkab maydonlar bilan tasvirlangan  . Shunday qilib, pionlar izotopik formalizmda ikki o'lchovli matritsalar shaklida berilishi mumkin:

... _ _

(1,48)

3-o'lchovni tasvirlashning asosini tashkil etuvchi va vakillikning o'zi, yuqorida aytib o'tilganidek, unitar unimodulyar matritsalar tomonidan berilgan 2 × 2 U. Izospin I = 1 bilan o'zboshimchalik bilan spinning zarralari xuddi shunday tasvirlangan . vektor mezonlari r ^±,0 massasi ~ 760 MeV.

(1,49)

Yarim butun spinli zarralar orasida, masalan, SU(2) da yozilishi mumkin bo'lgan massalari ~1192 MeV S ^± ,S ^{0 bo'lgan} 1960-yillarning boshlarida kashf etilgan 1/2 spinli g'alati giperonlarning izotripletini ko'rsatamiz. ) sifatida asos

.

(1,50)

3-o'lchovning tasviri bir xil matritsalar tomonidan berilgan U.
Yana bir bor eslaylikki, tajriba izotopik spini o'z xususiyatlariga ko'ra yaqin bo'lgan, ya'ni bir xil spinga ega bo'lgan N = (2I + 1) zarrachalar soni bilan aniqlanadi. (foiz darajasida) kuchli o'zaro ta'sirga nisbatan massalar va deyarli bir xil xususiyatlar. Misol uchun, massasi 1115 MeV ga yaqin bo'lgan, g'alatiligi S = -1 bo'lgan 1/2 spinning faqat bitta zarrasi topildi - bu nol elektr zaryadli va massasi 1115,63 + 0,05 MeV bo'lgan giperon l. Tabiiyki, bu zarrachaga izotopik spin nol tayinlangan. Psevdoskalar mezon ē(548) ning
izospin I = 0 i xuddi shu tarzda aniqlandi . Spin 3/2, g'alatiligi S = - 1 va massalari M(S ^*+ (1385)) = 1382,8 + 0,4 MeV, M(S ^{* 0} (1385)) = 1383,7 + 1,0 MeV bo'lgan barion rezonanslarining uchligi ham mavjud. , M (S ^{* -} (1385)) \u003d 1387,2 + 0,5 MeV, (rezonanslar kuchli o'zaro ta'sir natijasida parchalanadigan va shuning uchun juda qisqa umrga ega bo'lgan zarralardir; bir vaqtning o'zida ular "elementar" deb hisoblanadimi yoki yo'qmi degan savol faol muhokama qilingan. ) yoki (siz ushbu rezonans uchun boshqa belgini ham topishingiz mumkin - Y * ₁ (1385)).
Izotopik spin I = 3/2 bo'lgan faqat bitta holat ma'lum (ya'ni, tajribada 4 ta deyarli bir xil holat topilgan, ular faqat zaryad bo'yicha farqlanadi) - bu spin J = 3/2 D ^{++ bo'lgan to'rtta nuklon rezonanslari} (1232) . ), D ⁺ (1232), D ⁰ (1232), D ^- (1232), pion va nuklonga parchalanishi (o'lchangan massa farqi = 2,7 + 0,3 MeV). (Boshqa belgi ham qo'llaniladi - N*(1232).)
Tizimda spini 3/2Ξ ^{*0, -} massalari ~1520 MeV bo'lgan ikkita rezonans topilgan, shuning uchun ular izospin I = 1 bo'lgan izodobletga joylashtirilgan . /2.
Izotop spin formalizmidan foydalanish nafaqat kuchli o'zaro ta'sir qiluvchi zarralar (adronlar) to'plamini izotopik multipletlar bo'yicha iqtisodiy jihatdan tasniflash, balki parchalanish amplitudalarini, shuningdek, bir xil izotopik tarkibiga kiruvchi zarralarning tarqalish amplitudalarini bog'lash imkonini beradi. multiplikatorlar. Biz bu munosabatlarga batafsil to'xtalmaymiz, chunki ular yuqori simmetriya guruhlari doirasida yuzaga keladigan munosabatlarning bir qismi bo'lib, biz hozir ularga murojaat qilamiz. Ushbu bo'lim oxirida, Q zaryadi, I ₃ izospinining 3-komponenti va Y = S + B giperzaryad o'rtasidagi Gell -Mann- Nishijima munosabatining shaklini ham eslaylik , bu erda S - g'alatilik, B. barion soni (barionlar uchun +1, antibarionlar uchun -1 , mezonlar uchun 0):

Q \u003d I 3 + Y / 2.

(1,51)

Q elektromagnit tokning 4-komponentining yuqori sirtli integrali bo'lganligi sababli, bu elektromagnit oqim izovektor oqimining 3-komponenti va izoskalyarning superpozitsiyasi ekanligini anglatadi. yuqori zaryad oqimi.