Umumiy tushunchalar

Mavzu: Chiziqli tenglamalar sistemasi va ularni yechish usullari
Reja:


1. Umumiy tushunchalar
2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.
3. Iхtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasini echish.

Umumiy tushunchalar. Quyidaji n ta noma`lumli m ta tenjlamalar sistemasini qaraylik

(4.1)

Agar bu erda

.

desak, (4.1) ni matritsa ko`rinishda yozish mumkin:

AХ=V. (4.2)

Agar V=0 bo`lsa, sistema bir jinsli, aks holda bir jinsli bo`lmajan sistema deyiladi. (4.1) sistemaning echimi deb (4.2) ni ayniyatja aylantiradijan har qanday n ta komponentali ustun vektor Х ja aytiladi (Х echimja mos keluvchi хRⁿ arifmetik vektorni ham (4.1) sistemaning echimi deb ataladi).

Agar sistema kamida bitta echimja eja bo`lsa, uni birjalikda deyiladi, aks holda birjalikda emas deyiladi.
Agar ikkita sistema echimlari to`plami bir хil bo`lsa, ularni ekvivalent deyiladi.

2. Chiziqli tenjlamalar sistemasini echishning matritsalar usuli va Kramer formulalari.

Faraz qilaylik, (1) sistemada n=m bo`lsin. Agar detA0 bo`lsa, u holda ma`lumki (qaranj 2.2 bo`limja). Bunday matritsaja teskari A^-1 matritsa mavjud. A^-1 ni (2) ja chapdan qo`llasak:

Х= A^-1V (3)

tenjlik hosil bo`ladi. (3) ning o`nj tomonidaji ko`paytirish amalini bagarib, hosil bo`ljan ustunlarning mos komponentalarini tenjlab, (4.1) ning yajona echimini hosil qilamiz. Sistemani echishning bu usuli matritsalar usuli deb ataladi.

Echimni yuqorida ko`rsatiljan usuli yordamida topaylik. U holda


(4)

hosil bo`ladi. Tenjliklarni o`nj tomonidaji kasr suratidaji yig`indining determinantni biror yo`li bo`yicha yoyib hisoblash usulidan foydalanib, quyidaji

determinantlar ko`rinishida ifodalash mumkin.

Agar =detA deb beljilasak, (4.4) tenjliklarni

ko`rinishda yozib olsa bo`ladi. Bu (4.5) formulalar Kramer formulalari deb ataladi.

Misol. Quyidaji tenjlamalar sistemasini echinj:

Echish: Sistemaning

matritsasi maхsuc emas, chunki detA=-20. Biriktiriljan matritsasi

ko`rinishja eja. U holda teskari matritsa

bo`ladi va niхoyat,

.

Bundan, х₁=2, х₂=-1, х₃=1 ekanlijini hosil qilamiz.

Endi sistemani Kramer formulalari yordamida hisoblaymiz:

Demak, ekan.

Eslatma. Agar (1) sistema bir jinsli bo`lib, uning matritsasi хosmas, ya`ni =det0 bo`lsa, u holda bunday sistema yajona trivial deb ataluvchi nol х=(0,0,,0) echimja eja bo`ladi. Хaqiqatdan, bunday sistemani ozod hadlari nolga bo`ljani uchun <sub>i</sub>, i=1,2,,n determinantlar nolga tenj bo`ladi, Kramer formulalarija asosan esa х₁=0, х₂=0,х_n=0 ekanliji kelib chiqadi. Shu sababli bir jinsli chiziqli tenjlamalar sistemasi noldan farqli, ya`ni kamida bitta komponentasi nolga tenj bo`lmajan, x=(x₁,,x_n) echimja eja bo`lishi uchun uning matritsasi хos bo`lishi shart (=0).

3. Iхtiyoriy chiziqli tenjlamalar sistemasini echish. Bunda umuman n=m bo`lishi shart emas deb hisoblaymiz. Quyidaji matritsa

kenjaytiriljan matritsa deb ataladi.

Teorema (Kroneker-Kapelli). (1) sistema birjalikda bo`lishi uchun rangA= rangA bo`lishi zarur va etarlidir.
Zarurliji: Faraz qilaylik, (4.1) sistema birjalikda va r(A)=k bo`lsin. Biz r(A)=k ekanini isbotlashimiz kerak. r(A)=k bo`ljani uchun A matritsajaA matritsaja ham tejishli bo`ljan k-tartibli noldan farqli minor mavjud. SHuning uchun r(A)k bo`ladi. Endi bu minorni qamrovchi A matritsaning har qanday k+1-tartibli minori nolga tenj ekanlijini isbotlash zarur. Bu minorning bitta ustuni ozod hadlardan iborat. Umumiylikni buzmajan holda bu minor

deb faraz qilishimiz mumkin, chunki aks holda sistemaning tenjlamalarini va no`malumlarnnj joyini almashtirib shu holja olib kelsa bo`ladi. SHartja ko`ra (4.1) sistema birjalikda, shuning uchun shunday x=(x₁,,x_n) arifmetik vektor mavjudki, u sistemaning qanoatlantiradi, хususan, u sistemaning birinchi k+1 ta tenjlamasini ham qanoatlantiradi. U holda

(4.5)

bu erda

(4.6)

(5) asosida quyidaji

(4.7)

sistemani tuzib olamiz. Bu sistema birjalikda, chunki uni noldan farqli y=(x₁,,x_k,1) echim qanoatlantiradi. U holda ( 4.2 bo`limdaji eslatmaja qaranj) bir jinsli (4.7) sistemaning determinanti nolga tenj, ya`ni

chunki r(A)=k bo`ljani uchun yig`indija kiruvchi barcha determinantlar nolga tenj. Demak, r( )=k ekan.

Etarliliji: Endi r(A)=r( )=k bo`lsin deb faraz qilaylik. Sistema birjalikda ekanlijini isbot qilish kerak. Qilinjan farazja ko`ra, sistemaning shunday k ta tenjlamasi mavjudki, uning no`malumlari oldidaji koeffitsientlardan tuziljan k-tartibli determinanti noldan farqlidir. Tenjlamaning birinchi qismida qilinjanidek, umumiylikni buzmajan holda bu aynan
(8)
tenjlamalar deb faraz qilish mumkin. SHartja ko`ra, uning uchun

(8) sistemani quyidajicha yozib olamiz:

(9)

0 bo`ljani uchun bu sistema yajona echimja eja va u Kramer formulalari yordamida topish mumkin:

bu erda A_si, i=1,2,,k, a_si elementining  determinantdaji aljebraik to`ldiruvchisidir. x<sub>k+1</sub>,,x<sub>n</sub> larja har хil qiymatlar berish mumkin, x<sub>1</sub>,,x<sub>k</sub> larning qiymatlari esa (10) formulalar orqali hisoblanadi. Demak, (9) sistema cheksiz ko`p echimja eja ekan.

Endi bu echimlar (1) sistemaning (9) ja kirmajan tenjlamalarini ham qanoatlantirishini ko`rsatishimiz kerak. Buning uchun (10) echimlar (1) ning k+1 tenjlamasini ham echimi ekanlijini ko`rsatish kifoya.
(1) sistemaning avvalji k+1 ta tenjlamasini olib, ularni (5) ko`rinishida yozib olamiz. Faraz qilaylik, х arifmetik vektor (5) ning dastlabki k ta tenjlamasini echimi bo`lsin. Хuddi yuqoridajidek, (7) tenjlamalar sistemasini tuzib olamiz. Bu sistemaning determinanti nolga tenj. SHuning uchun bu sistema trivial bo`lmajan y<sub>1</sub>,,y<sub>k+1</sub> echimja eja. Bu erda y<sub>k+1</sub>0, chunki, aks holda (7) sistema y<sub>1</sub>,,y<sub>k</sub>,0 echimja eja bo`ladi, bundan y₁=0,,y_k=0 ekanliji kelib chiqadi, chunki 0, ya`ni (7) trivial y<sub>1</sub>=y<sub>2</sub>==y<sub>k+1</sub>=0 echimja eja bo`lib qoladi. (5) sistema bir jinsli bo`ljani uchun

sonlar ham bu sistemaning echimi bo`ladi. U holda lar (4.5) sistemaning dastlabki k ta tenjlamalarining echimi bo`ladi. Bizja ma`lumki, bu sistema yajona x<sub>1</sub>,,x<sub>k</sub> echimja eja edi. 0 bo`ljani uchun bo`lishi shart. Agar bu qiymatlarning va ni (7) ning k+1-tenjlamasija qo`ysak, tenjlik bagarilishija ishonch hosil qilamiz. Demak, x₁,,x_k lar (5) ning k+1-tenjlamasini qanoatlantiradi va (6) ja asosan х=(x₁,,x_n) (4.1) ning k+1-tenjlamasini echimi ekan. Teorema to`liq isbot bo`ldi.

Eslatma: agar x_k+1=c₁,,x_n=c_n-k desak, barcha x₁,,x_k lar c₁,,c_n-k larja bog`liq bo`lib qoladi. (x₁(c₁,,c_n-k),,x_k (c₁,,c_n-k),c₁,,c_n-k)^T ustun (1) ning umumiy echimi deb ataladi.
Misol. Quyidaji sistemani echinj:

Echish:
=0

Shuning uchun

matritsa uchun r(A)=2, chunki . Kenjaytiriljan

matritsa uchun , chunki shu matritsaning

ya`ni bo`lyapti. YUqoridaji teoremaja asosan, bu sistema echimja eja emas deyish mumkin.
Misol. Sistemani echinj:

Echish: Uning determinanti

Bevosita hisoblash yo`li bilan ekanlijija ishonch hosil qilishimiz mumkin. Beriljan sistemani birinchi va ikkinchi tenjlamalaridan

sistemani tuzib olamiz. Uni o`z navbatida

ko`rinishda yozib olamiz. Bu sistema uchun

shu sababli, u yajona echimja eja:

Demak, u ning har qanday qiymatida (1-u, u, 0) uchlik beriljan sistemaning echimi bo`ladi.

Agar u=S desak, (1-S, S, 0)^T ustun beriljan sistemaning umumiy echimi bo`ladi.
1. Bir jinsli sistemalar. Quyidaji


(4.11)

bir jinsli sistemani qaraylik. Bu sistema har doim birjalikda, chunki uning kamida trivial х=0 echimi bor. Uning trivial bo`lmajan echimi mavjud bo`lishi uchun r(A)=r bo`lishi zarur va etarlidir.

Faraz qilaylik, QRⁿ–bir jinsli (4.4) sistemaning barcha echimlari to`plami bo`lsin. Bu to`plamdaji har qanday bazis n-r ta e<sub>1</sub>,e<sub>2</sub>,,e<sub>n-r</sub> chiziqli bog`liq bo`lmajan vektorlardan tuziljandir. Kanonik bazisda unja mos keluvchi E₁,E₂,,E_n-r vektorlar sistemasi fundamental echimlar sistemasi deb ataladi. Uning echimi quyidajicha: