«Ulıwmalasqan funkciyalardıń oramı haqqında»

§4. Ádettegi funkciyalardiń oramı

Meyli, f(x) hám g(x) – ózgeriwshi x tıń , ádettegi funkciyası berilgen bolsın. Tómendegi ańlatpanı dúzemiz

(12)
bul f(x) hám g(x) funkciyalardıń oramı delinedi. Bul jerde biz f(x), g(x) funkciyalarınıń birewin finit dep uyǵarıp, oramnıń bar bolıwın qarastıramız.
Meyli, mısalı, f(x) finit bolsın, yaǵnıy f(x) funkciyası [a,b] kesindiden sırtta nol`ge aynaladı. Barlıq x ushın oram bar ekenligin hám ol ádettegi funkciya bolıp tabılatuǵınlıǵın korsetemiz. Bunı dáliyllew ushın qálegen [c,d] aralıqtı alıp, tómendegi eseli integraldı qarastıramız:
(13)
Fubini teoreması boyınsha (Lebeg integralında integrallaw tártibin ózgertiw:
)
(13)–eseli integraldı qálegen tártipte esaplaw múmkin. Dáslep
(14)
figuralı skobkalar ishinde bolǵanda shegaralanǵan
.
funkciya turıptı, bunda G – bolsa |g(x)| tan alınǵan dáslepki funkciya. Bul (14)–integraldıń, sonıń menen birge (13)–integraldıń bar ekenligin dáliylleydi. Integrallaw tártibin ózgerte otırıp barlıq jerde
(15)
integraldıń bar bolıwına erisemiz, demek (12)–integralda bar degen sóz. Sonday–aq, (15)–funkciya aralıqta x boyınsha qosındıǵa iye, óz gezeginde usı aralıqta (12)–funkciyada qosındıǵa iye boladı.
Solay etip, joqarıda qaralǵan jaǵdayda (f finit) funkciya qálegen shekli aralıqta qosındıǵa iye, bul demek ádettegi funkciya bolıp tabılatuǵınlıǵın bildiredi.
Meyli, endi g(x) funkciyası [c, d] kesindisine jámlengen finit funkciya bolsın. Bul jaǵdayda da (12)–integral shekli
(16)
Dáliyllegen boyınsha
(17)
Oram bar boladı. Bul integralda dep ózgeriwshi almastırıp

iye bolamız, bul (16)–integraldıń bar ekenligin dáliyllew menen birge onıń (17)–integral menen sáykesligin bildiredi.
Solay etip, oram bar boladı hám f, g funkciyalarınıń keminde birewi finit bolǵanda ádettegi funkciya túrinde boladı.