Улуғмуродов н. Х

2.Turg’unlikning Gurvis mezoni.
ABS ning xarakteristik tenglamasi berilgan bo‟lsin: 
A(R) =a
0
P
n
+a
1
P
n-1
+…+a
n
=0
(9) 
Shu xarakteristik tenglama koeffisientlaridan tuzilgan jadvalga Gurvis aniqlovchisi 
(determinanti) deyiladi. 

---

143 
 
Gurvis aniqlovchisini tuzishda quyidagi qoidaga rioya qilish kerak: 
a) bosh dioganal bo‟yicha hamma koeffisientlarni “
a
1
” dan to “
a
n
” gacha o‟sish tartibi bilan 
yozib chiqiladi. 
b) bosh dioganalga nisbatan qatorlarning pastga tomon indekslari kamayuvchi, yuqoriga tomon 
indekslari o‟sib boruvchi koeffisientlar bilan to‟ldiriladi. 
v) indekslari noldan kichik hamda “
n
” dan katta bo‟lgan koeffisientlar o‟rniga nollar yoziladi. 
g) Gurvis aniqlovchisining eng yuqori tartibi xarakteristik tenglamaning darajasiga teng 
bo‟ladi. 
d) Gurvis aniqlovchisining oxirgi tartibi 

0
=a
0

n
ga tengdir. 
a
1
a
3
a
5
a
7
0 
a
0
a
2
a
4
a
6
0 


n
 = 0 a
1
a
3
a
5
0 
0 a
0
a
2
a
4
0 
…………….. 
0 0 0 0 a
n 
 
Gurvis mezoni ta‟rifi: 
Agar 
a
0

0
bo‟lib,Gurvisning hamma aniqlovchilari noldan katta bo‟lsa, u holda sistema turg‟un 
bo‟ladi, ya‟ni 
a
0

0
bo‟lganda

1
 

0; 

2
 

0; 

3
 

0;…..

n

0
bo‟lishi kerak. 

n
=a
n
 

n-1
bo‟lishi Gurvis aniqlovchisining tuzilish strukturasidan kelib chiqadi. Shunga ko‟ra, 
agar 

n
=a
n
 

n-1
=0
bo‟lsa, sistema turg‟unlik chegarasida bo‟ladi. Bu tenglik ikki holda, ya‟ni 
a
n
=0
bo‟lganda yoki 

n-1
=0 bo‟lganda bajarilishi mumkin. Agar a
n
=0 bo‟lsa, unda tekshirilayotgan sistema 
turg‟unlik holatining aperiodik chegarasida bo‟ladi(ya‟ni xarakteristik tenglamaning bitta ildizi nolga 
teng bo‟ladi). 
Agar

n-1
=0
bo‟lsa, unda tekshirilayotgan sistema turg‟unlik holatining tebranma chegarasida bo‟ladi 
(bunda xarakteristik tenglama juft mavxum ildizga ega bo‟ladi). 
Endi 
n=1,2,3,4
ga teng bo‟lgan tenglamalar bilan ifodalangan sistemalar uchun Gurvis turg‟unlik 
mezonining shartlarini ko‟rib chiqamiz: 
a) 
n=1, a
0
R+a
1
=0. 
Bunda 
a
0

0; 

1
=a
1

0
turg‟unlik sharti bo‟ladi. Demak, birinchi tartibli sistemalar turg‟un bo‟lishi 
uchun xarakteristik tenglama koeffisientlarining musbat bo‟lishi etarlidir. 
b) 
n=2, a
0
R
2
+a
1
R+a
2
=0 
bunda turg‟unlik shartlari quyidagicha bo‟ladi. 
a
0

0;

1
=a
1 

0 
a
1
 0 


2
= =a
1
 a
2
- a
0
 0=a
1
 a
2

0 
 
a
0
 a
2
 

---

144 
Demak, ikkinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalarning ham turg‟un bo‟lishi uchun 
xarakteristik tenglama koeffisientlarining musbat bo‟lishi etarli shart hisoblanadi. 
v) 
n=3, a
0
R
3
+a
1
R
2
+a
2
R+a
3
=0 
Turg‟unlikning zarur shartlari: 
a
0

0;

1
=a
1 

0 
a
1
 a
3
 


2
= =a
1
 a
2
- a
0
 a
3

0 
 
a
0
 a
2
 
 

3
=a
3
 

2

0. 
Shunday qilib, uchinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalarning turg‟un bo‟lishi 
uchun xarakteristik tenglama koeffisientlarining musbat bo‟lishi etarli bo‟lmay, bunda (a
1
a
2
- a
0
a
3
)

0 
tengsizlikning bajarilishi zarur shart hisoblanadi. 
g) 
n=4, a
0
r
4
+ a
1
r
3
+ a
2
 r
2
+ a
3
 r+ a
4
=0 
Turg’unlik shartlari: 
a
0

0;

1
=a
1 

0 
 
a
1
 a
3 
 


2
= a
0
 a
2
=a
1
 a
2
- a
0
 a
3

0 
 
a
1
 a
3
 0
 


3
= a
0
 a
2
 a
4
=a
1
 a
2
 a
3 
+0+0+0- a
0
 a
3
-a
1
2
a
4
=a
3
(a
1
a
2
-a
0
a
3
)-a
1
2
a
4

0
0 a
1
 a
3
 


4
=a
4
 

3
 

0

To‟rtinchi tartibli tenglama bilan ifodalangan sistemalar turg‟un bo‟lishi uchun xarakteristik 
tenglama koeffisientlarining musbat bo‟lishidan tashqari yana ikki 
 
( a
1
a
2
-a
0
a
3 
) 

0 
a
3
( a
1
a
2
-a
0
a
3
) –a
2
a
4

0
shart bajarilishi kerak. 
Xarakteristik tenglamaning darajasi ”
p
” borgan sari yuqoridagi kabi bajarilishi kerak bo‟lgan 
shartlar ham ko‟paya boradi. Shuning uchun turg‟unlikning Gurvis mezonini 
p<4
bo‟lgan sistemalar 
uchun qo‟llash maqsadga muvofiq bo‟ladi.
3.Turg’un Mixaylov mezoni. 
Mixaylovning turg‟unlik mezoni o‟zining mohiyati jihatidan argumentlar prinsipining geometrik 
tasviridir. 
D (r)=a
0
r
p
+a
1
r
p
-1+…..+a
p
=0
(10) 
Xarakteristik tenglama berilgan bo‟lsin. 
Bunda 
D(R)
polinomni xarakteristik polinom deb ataladi. Sistema turg‟un bo‟lishi uchun xarakteristik 
tenglamaning hamma ildizlari kompleks tekisligining chap yarim tekisligida joylashishi, ya‟ni o‟ng 
ildizlar soni 1=0 bo‟lishi kerak. U holda argumentlar prinsipiga muvofiq

---

145 
∆argD(jω)= nπ/2 yoki ∆argD(jω)= nπ
shart bajarilishi kerak. 
0<

<

 
 
 
 
0<

<


CHastota
-

<ω<

o‟zgarganda (jщ) vektorning kompleks tekisligidagi geometrik
o‟rniga Mixaylov gedografi deyiladi.
D(jω)=a
0
(jω)
n
+a
1
(jω)
n-1
 +…….+a
n
= U(ω) + JV(щ) 
U(ω)=(a
n
-a
n
-2ω
2
+a
n
-4ω
4
…)
haqiqiy qism bo‟lib, u chastotaga nisbatan juft funksiyadir. 
U(ω)=U(-ω) 
Mavhum qismi esa chastotaga nisbatan toq funksiya bo‟ladi. 
V(ω)=w(a
n-1
+a
n-3w
2
-a
n-3w
4
+…) 
 V(-ω)=-V(ω) 
Shunday qilib 
D(-jω) =U(ω)-JV(ω)
bo‟ladi. 
Mixaylov mezonining ta‟rifi:
Agar chastota 
0<

<

o‟zgarganda Mixaylov gedografi haqikiy musbat o‟qdan boshlanib, 
koordinata boshi atrofida musbat (soat strelkasiga qarshi) yo‟nalishda p
p/2
burchakka burilsa, u holda 
sistema turg‟un bo‟ladi. Bunda “p” xarakteristik tenglamaning darajasidir. 
Quyida Mixaylov gedografining ko‟rinishlarini keltiramiz. (3-rasm) 
3-rasmda sistema turg‟unlik shartlari uchun Mixaylov gedograflarining ko‟rinishlari keltirilgan. 
n=3
n=3
ω=0
ω=0
jv(ω)
n=3
n=3
n=4
ω=0
+
U(ω
) 
jv(ω)
ω=0
n=3
n=4
n=5
n=1
n=2
U(ω)
jv(ω)
a)
системанинг турғунлик 
шартлари
б
) 
системанинг нотурғунлик 
шартлари
в
) 
турғунлик чегара 
шартлари

---

146 
v(
ω)
u(
ω)
ω
9 
ω
8 
ω
7 
ω
6 
ω
5 
ω
4 
ω
3 
ω
2 
ω
1 
ω
0 
ω
Mixaylov godografa tahlil qilinganda, undan quyidagi natija kelib chiqadi. Mixaylov godografi 
koordinata tekisligida kvadratlarni ketma-ket kesib o‟tganda, u haqiqiy va mavhum o‟qlarni birin-ketin 
kesib o‟tadi. 
Mixaylov godografi haqiqiy o‟qni kesib o‟tganda, uning mavhum funksiyasi nolga aylanadi, 
mavhum o‟qni kesib o‟tganda esa Mixaylovning haqiqiy funksiyasi nolga aylanadi. Shuning uchun 
godografning haqiqiy va mavhum o‟qlarni kesib o‟tgan nuqtalaridagi chastotaning qiymati 
U(w)=0
(a), 
V(w)=0
(b) tenglamalarining ildizlari bo‟lishi kerak. 4-rasmda bu funksiyalarning grafigi 
keltirilgan. 
4-rasm. 
Bu egri chiziqlarning absissa o‟qi bilan kesishgan nuqtalari (a) va (b) tenglamalarning 
ildizlarini bildiradi. 
Agar 
w0, w2, w4
…tenglamaning ildizlari 
w1, w3, w5
….esa (a) tenglamaning ildizlari bo‟lib, 
shu bilan birga 
w0< w2< w4
va
w1< w3< w5
bo‟lsa, u sistema turg‟un bo‟lishi uchun
w0< w1< w2
tengsizlik bajarilishi kerak.