Учебное пособие Пермь ипц «Прокростъ» 2017 удк

7.5. Принцип Даламбера – Лагранжа. 
Общее уравнение механики 
Рассматривая принцип Даламбера, мы ввели понятие 
силы инерции для всех материальных точек системы. Эти си-
лы определяются как произведение масс точек и их ускоре-
ния, взятого с обратным знаком. После добавления сил инер-
ции к активным и пассивным силам получаем равновесие сил 
в движущейся системе. Равновесие сил означает выполнение 
условия принципа виртуальных перемещений. Поэтому от-
крывается возможность распространить принцип виртуаль-
ных перемещений, относящийся к статике, и на динамику. 
Пусть система представлена материальным точками с 
массами m
1
, m
2
,…,m
N
и координаты этих точек удовлетворя-
ют заранее заданным уравнениям, которые выражают голо-
номные, удерживающие, идеальные связи. Равнодействую-
щую активных сил, приложенных к точке m
k
, обозначим 
⃗
k, 
а 

---

162 
равнодействующая пассивных сил – 
⃗⃗⃗
k. 
По второму закону 
Ньютона 
k
⃗⃗⃗
k
⃗
k
⃗⃗⃗k 
или
⃗
k
k
⃗⃗⃗
k
⃗⃗⃗
k
(7.16) 
активные силы, пассивные силы и силы инерции Даламбе-
ра «уравновешены». Зафиксируем теперь момент t и сооб-
щим системе виртуальное перемещение 
⃗
1
⃗
2
⃗
N
. 
Умножим скалярно каждое уравнение (7.16) на соответству-
ющее 
⃗
k 
и суммируем все уравнения: 
∑
⃗
k
k
⃗⃗⃗
k
⃗
k
∑
⃗⃗⃗
k
⃗
k
По определению идеальных связей последняя сумма 
равна нулю, поэтому
∑
⃗
k
k
⃗⃗⃗
k
⃗
k
=0.
(7.17) 
Найденное уравнение (7.17) называется общим уравне-
нием динамики. Оно выражает принцип Даламбера – Ла-
гранжа: 
в каждый момент движения механической системы с 
идеальными удерживающими связями сумма работ активных 
сил и сил инерции Даламбера на любом виртуальном пере-
мещении равна нулю. 
В развернутом виде общее уравнение динамики выгля-
дит так: 
∑
kx
k
̈
k
k
ky
k
̈
k
k
kz
k
̈
k
k
, (7.18) 
где F
kx
, F
ky
, F
kz
 – проекции активной силы 
⃗
k 
на соответству-
ющие оси;
x
k
, y
k
, z
k
 – координаты точки m
k
. 
Принцип Даламбера – Лагранжа является одним из 
наиболее общих принципов в механике. Он охватывает всю 

---

163 
механику систем с идеальными связями (любыми голоном-
ными и линейными неголономными; стационарными и не-
стационарными). Силы могут быть как потенциальными, так 
и не потенциальными. 
Если связи не являются идеальными, необходимо 
учесть, кроме математических уравнений этих связей, еще и 
добавочные физические условия для реакций. Например, ес-
ли движение тел происходит с трением, необходимо учесть 
физические законы трения (сухого, вязкого). Силы трения 
фактически включаются в число активных сил, а нормальные 
составляющие реакции связей по-прежнему удовлетворяют 
условию идеальности 
∑ ⃗⃗⃗
k
⃗
k
. Таким образом, и не-
идеальные связи фактически включаются в общую схему. 
Принцип Даламбера – Лагранжа положен в основу 
определения движения системы: в действительном движении 
ускорения точек таковы, что сумма работ (7.17) на виртуаль-
ных перемещениях обращается в нуль. Математически прин-
цип Даламбера – Лагранжа представляется вариационным со-
отношением (7.17).