|
4. О рассмотрении дифференциального уравнения гармонических колебаний в курсе математики академических лицеях.
Другое дифференциальное уравнение, которое рассматривается в академических лицеях, есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний у" = - k2y. Это уравнение — уравнение второго порядка.
Этот вопрос изложен следующим образом: сначала рассматриваются задачи, решение которых сводится к этому уравнению, а затем делается указание на то, что все решения этого уравнения исчерпываются функциями вида у (х) = A sin (kx + θ), где Aиθ — произвольные константы.
Изложение этого вопроса полезно провести в виде лекции, в ходе которой следует рассказать учащимся об огромной роли, которую играют дифференциальные и интегральные уравнения I в современной физике и технике.
2.25. Необходимые и достаточные условия в курсе математики и методика их изучения
План
1. Определение понятий "необходимый признак", "достаточный признак", "необходимый и достаточный признаки" и примеры их использования в курсе математики.
2. Методические особенности изучения необходимых и достаточных условий в средней школе.
1. Определение понятий "необходимый признак", "достаточный признак", "необходимый и достаточный признаки" и примеры их использования в курсе математики
Если P и Q - некоторые свойства или условия, то теоремы в математике чаще всего формируются в виде предложения "Если есть P, то есть Q".
Такая структура математических предложений использует понятия "необходимый признак", "достаточный признак", "необходимый и достаточный признаки".
Этим понятиям надо дать определение.
Пусть P и Q означают некоторые свойства или условия. Выражение "Р есть достаточный признак Q" означает, что из Р следует Q. При этом Q называют необходимым признаком Р.
Иначе говоря, необходимым признаком Р называется любое следствие Q, которое может быть получено из Р. Достаточным признаком Q называется любое условие Р, из которого Q следует.
Утверждение "Из Р следует Q" равносильно утверждению "Если Р, то Q" и можно записать в виде Р═>Q. Эта запись означает: Р - достаточный признак Q, Q - необходимый признак Р.
Если утверждение Р═>Q назвать прямой теоремой, то утверждение Q═>Р - обратная теорема.
Таким образом, оба признака, и необходимый, и достаточный, являются теоремами, причем если один из них назвать прямой теоремой, то другой признак является обратной теоремой. Значит, понятия необходимого и достаточного признаков полностью совпадают с понятиями прямой и обратной теорем.
Если Р═>Q истинно, а Q═>Р ложно, то говорят, что Q является необходимым, но недостаточным признаком Р. При этом Р является достаточным, но не необходимым признаком Q.
Пример. Теорема. Если каждое слагаемое кратно 7, то их сумма кратна 7.
Р - "каждое слагаемое кратно 7", Q - "их сумма кратна 7". Проверим утверждение: Р═>Q и Q═>Р.
Легко доказать, что утверждение Р═>Q истинно, а Q═>Р ложно (например, 21=15+6).
Указанную теорему можно прочитать так: чтобы каждое слагаемое было кратно 7, необходимо, чтобы их сумма была кратна 7.
Или: чтобы сумма нескольких слагаемых была кратна 7, достаточно, чтобы каждое из них было кратно 7.
Итак, получаем, что делимость суммы на 7 есть необходимый признак делимости каждого слагаемого на 7, а делимость каждого слагаемого на 7 есть достаточный признак делимости суммы на 7.
Если прямая и обратная теоремы верны, т. е. если выполняются оба утверждения Р═>Q и Q═>Р, то Q является необходимым и достаточным признаком Р. В этом случае Р также является необходимым и достаточным условием Q. Тогда утверждение Р═>Q и Q═>Р можно записать так: Р═>Q. Данный факт обозначает, что верны обе теоремы - прямая и обратная. Тогда, чтобы утверждать, что Q является необходимым и достаточным признаком Р, надо доказать 2 теоремы:
1) Р═>Q - необходимость; 2) Q═>Р - достаточность.
Часто в формулировках теорем выражение "необходимо и достаточно" заменяется одним из следующих равнозначных ему, т. е. имеющих тот же смысл выражений: "тогда и только тогда", "все те и только те", "в том и только том случае".
Однако многие учителя не уделяют должного внимания этому вопросу. Это может привести ученика к мысли о его несущественности. Между тем даже беглый взгляд на программу показывает, что она буквально пронизана необходимыми и достаточными признаками, сформулированными в виде пар теорем, прямой и обратной. Укажем ряд таких теорем.
I. Геометрия.
а) "Прямая, перпендикулярная радиусу окружности и проходящая через его конец, является касательной к этой окружности".
Обратная теорема: "Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проходящему через точку касания".
Обе теоремы верны, и можно сформулировать достаточные и необходимые условия того, чтобы прямая была касательной к окружности.
Аналогичная ситуация с теоремами: "Если два центральных угла окружности равны, то равны и соответствующие им дуги" и "Если две дуги окружности равны, то равны и соответствующие им центральные углы".
б) "Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 2π" - прямая теорема, а ей обратная: "Если в четырехугольнике сумма двух противоположных углов равна 2π, то около этого четырехугольника можно описать окружность".
Учащимся здесь не сразу видно, что эти теоремы взаимно обратные. Для понимания этого полезно первую теорему сформулировать в виде: "Если :, то :".
в) "Необходимым и достаточным условием коллинеарности ненулевого вектора и вектора является существование такого числа, которое удовлетворяет условию: ".
г) "Для того, чтобы прямая, лежащая в плоскости, была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость".
д) "Необходимым и достаточным условием перпендикулярности двух ненулевых векторов является равенство нулю их скалярного произведения".
II. Алгебра.
а) "Числа a, b, c и d, где b≠c, d≠0, составляют пропорцию тогда и только тогда, когда ad=bc".
б) "Возрастающей является та и только та последовательность, каждый член которой, начиная со второго, больше предыдущего".
в) "Ограниченность последовательности является необходимым условием сходимости".
г) "Для того, чтобы функция была постоянной на интервале, необходимо и достаточно, чтобы ее производная равнялась нулю на этом интервале" (основное свойство первообразной).
Do'stlaringiz bilan baham: |
