Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Об изучении в школе дифференциального уравнения

пока­зательного (экспоненциального) роста.
Изучение дифференциального уравнения показательного роста (оно имеет вид: у' = —ky) в школе можно начинать с рассмотрения различных задач из физики, техники, биологии и т. д., реше­ние которых приводится к этому уравнению. Уже потом следует доказать, что всякое решение этого уравнения есть функция вида у (х) = С • е^-kx, где С — произвольная константа, а заканчивая изучение этого вопроса, необходимо вновь рассмотреть решения прикладных и технических задач, приводящих к составлению и решению дифференциального уравнения показательного роста. Так, например, сделано в учебном пособии [3.10]. Здесь сначала рассматривается задача об установлении закона распада радия и показывается, что ее решение сводится к решению некоторого диф­ференциального уравнения вида m′(t) = - km (t), k > 0. Затем приводится решение этого уравнения в виде т (t) = С • е^-kt (то, что данная функция является решением, устанавливается непосредственной проверкой), дается понятие о начальных усло­виях дифференциального уравнения, устанавливается, что рас­сматриваемое уравнение не имеет иных решений. Далее делается указание на то, что при исследовании многих физических, экономи­ческих и биологических явлений приходится решать задачи, сво­дящиеся к дифференциальному уравнению вида и' (t) = - ku (t). Позднее рассматриваются задачи об охлаждении тела в окружаю­щей среде, об измерении высоты с помощью барометра, о росте населения.
В заключение отметим, что, конечно, в курсе мате­матики академических лицеев не следует рассматривать общую теорию решения линей­ных дифференциальных уравнений первого порядка вида у' (х)+f(x) y(x)=g(x) (уравнение показательного роста у' (х) = - ky (х), где k — константа, есть частный случай этого урав­нения, а именно линейное однородное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами). Однако, используя понятие пер­вообразной, следует получить общее решение этого уравнения у' (х) = ky (х) в виде у(х)= Се^-kx, где С — произвольная по­стоянная.