Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2.24. Простейшие дифференциальные уравнения в курсе «алгебры и основы математического анализа» академических лицеев

План
1. О месте темы в курсе математики академических лицеях.
2. О понятии дифференциального уравнения.
3. Об изучении в школе дифференциального уравнения пока­зательного (экспоненциального) роста.
4. О рассмотрении дифференциального уравнения гармони­ческих колебаний в курсе математики академических лицеях.

1. 
   О месте темы в курсе математики академических лицеях.
   

Программа по математике предусматривает рассмотрение
в курсе «Алгебра и основы математического анализа» простейших дифференциальных уравнений, которым отведено 10 часов.
В теме «Дифференциальные уравнения» предполагается ознакомление учащихся с дифференциальным уравнением показательного роста у' = ky, рассмотрение различных задач из многих областей науки (физики, химии, биологии, экономики, социологии и т. п.), решение которых сводится к этому уравнению.
Дифференциальное уравнение гармониче­ских колебаний у" = -k²y рассматрива­ется в теме «Тригонометрические функции». Здесь также предполагается рас­смотрение задач из механики, физики, электротехники и других инженерных на­ук, решение которых приводится к этому уравнению.

2. 
   О понятии дифференциального уравнения.
   

Прежде чем вводить понятие диф­ференциального уравнения, учащимся сооб­щается о том, что в различных областях науки и техники, а также в экономике часто рассматриваются задачи, решение которых сводится к одному или нескольким уравнениям, содержащим, кроме переменных, искомых функций, еще и произ­водные этих искомых функций. Говорится, что такие уравнения называются дифференциальными. Отмечается, что раздел «Диффе­ренциальные уравнения» курса математического анализа является дальнейшим углублением методов дифференциального и интеграль­ного исчислений. Если в дифференциальном исчислении по данной функции находится ее производная, а в интегральном исчислении по производной находят функцию, являющуюся первообразной для этой производной, то при изучении теории и практическом ре­шении дифференциальных уравнений не даны ни функция, ни ее производная, а задано уравнение (или несколько уравнений), ко­торое связывает их. С учащимися вспоминается, что понимается под решением алгебраического уравнения. Затем по аналогии вво­дится понятие решения дифференциального уравнения как функ­ции, которая это уравнение обращает в верное равенство. После этого с учащимися полезно рассмотреть несколько задач, приводя­щих к дифференциальным уравнениям.