|
2.18. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве
План
Параллельность прямых в пространстве; скрещивающиеся прямые.
Параллельность прямой и плоскости.
Параллельность плоскостей в пространстве.
Параллельная проекция и ее свойство; изображение пространственных фигур на плоскости.
Параллельность прямых в пространстве
Взаимные положения двух прямых на плоскости известны ученикам VII класса. Остается их только рассмотреть на конкретных пространственных фигурах и дать определение скрещивающихся прямых. Введение скрещивающихся прямых прежде всего расширяет кругозор и пространственные представления учащихся. Учащиеся начинают понимать значение слов "принадлежность одной плоскости".
Повторив определение двух параллельных и двух пересекающихся прямых, следует обратить внимание на то, что через пару параллельных или пересекающихся прямых можно провести плоскость, и притом только одну. Затем предполагается выяснить, каковы взаимные расположения пар ребер, принадлежащих одной грани куба, любого прямоугольного параллелепипеда. Параллельность противоположных ребер одной грани обосновывается тем, что грань - прямоугольник. Делаем вывод, что ребра - отрезки прямой, предлагаем указать взаимные положения прямых, которым принадлежат пересекающиеся или параллельные ребра многогранника. С этой целью прикладываем к соответствующим ребрам палочки значительно большей длины; констатируем, что две прямые в пространстве могут быть тоже параллельны или пересекаться. Создаем с помощью двух палочек модели двух параллельных, двух пересекающихся прямых. В качестве упражнения на закрепление можно предложить указать взаимные положения ребер на каркасной модели куба.
Чтобы подтвердить, что эти ребра параллельны, складываем в модели куба пластинку и убеждаемся, что они лежат в одной плоскости. Параллельность же ребер следует из того, что противоположные стороны четырехугольника попарно равны.
Далее предлагается выяснить взаимное расположение ребер, прикладывая пластинку к этим ребрам, устанавливаем, что через них нельзя провести плоскость (если плоскость проходит через указанное ребро, то она пересекает ребро или его продолжение и наоборот). Значит, эти ребра не параллельны и не пересекаются. Такие ребра называются скрещивающимися. Но определение скрещивающихся ребер (прямых) можно дать по-другому: два ребра (две прямые), через которые нельзя провести плоскость, называются скрещивающимися.
Определение двух скрещивающихся прямых как таких прямых, через которые нельзя провести плоскость, следует предпочесть определению их как прямых, которые не параллельны и не пересекаются. Как мы видим, этим определением удобно пользоваться на практике: когда нужно узнать, являются ли два ребра скрещивающимися, прикладываем к ним пластинку и выясняем, можно ли через них провести плоскость.
После упражнений в нахождении скрещивающихся ребер различных многогранников создаем модель двух скрещивающихся прямых и вводим определение.
В заключение следует перечислить всевозможные взаимные положения двух прямых в пространстве. Рекомендуется сделать такую таблицу.
Особое внимание следует уделить признаку скрещивающихся прямых, который лежит в основе их построения. Перед формулировкой признака надо еще раз проиллюстрировать скрещивающиеся прямые, используя каркасные модели многогранников, подметить такую их особенность: одна прямая из этих двух пересекает плоскость, в которой лежит другая прямая, в точке, не принадлежащей ей. На основании этого выполняется рисунок, дается формулировка теоремы-признака скрещивающихся прямых, а затем проводится ее доказательство. Доказательство признака должен сначала рассказать сам учитель, а затем попросить учащихся повторить его. При доказательстве признака важно заострить внимание учащихся на вопросе: что значит: две прямые не являются скрещивающимися? Ответить на этот вопрос поможет схема: в этом случае прямые или пересекаются, или параллельны.
Эти два случая в доказательстве следует рассмотреть отдельно. Случай скрещивающихся прямых новый для учащихся, наиболее трудный среди остальных случаев, часто встречающийся при решении задач на многогранники, поэтому при закреплении ему надо уделить особое внимание. В задачах на закрепление должны быть рассмотрены всевозможные скрещивающиеся прямые, которым принадлежат ребра многогранников.
С учащимися надо решить задачи на построение прямой, скрещивающейся с данной прямой и проходящей через данную точку; прямой, параллельной данной прямой и проходящей через данную точку пространства.
Но возникает обратная проблема, проблема распознавания: как же определить, параллельны ли две рассматриваемые прямые? Учителя предпочитают такой подход, установив транзитивность параллельности в пространстве, они получают признак: если две прямые параллельны третьей, то они параллельны между собой.
Доказательство свойства транзитивности параллельных прямых в пространстве представляет определённые трудности для учащихся, а потому нуждается в специальной подготовке их к его восприятию. С этой целью необходимо рассмотреть решение задачи, которая является элементом доказательства свойства транзитивности параллельных прямых в пространстве и используется дважды в процессе доказательства.
Задача. Плоскости α и β пересекаются по прямой а. Прямая m, лежащая в плоскости α, пересекает плоскость β. Доказать, что точка пересечения прямой m с плоскостью β принадлежит прямой а.
Do'stlaringiz bilan baham: |
