Учебное пособие "Методика преподавания математики"

3.Методика обучения элементам теории вероятностей и математической статистики.
1. Основания
Две схемы изложения
Возможны различные модели методики обучения теории вероятностей. В учебной литературе четко обозначились в основном две схемы: одна — неаксиоматическая, а другая — аксиоматическая.
Неаксиоматическая схема изложения основ теории вероятностей начинается с понятий событий, их классификации, действий над ними.
Вводятся понятия полной группы событий, равновозможности, благоприятствующих событий, а затем даются определения классической вероятности, статистической и геометрической вероятностей; излагаются понятия условной вероятности, теоремы умножения и сложения вероятностей, формулы полной вероятности и формул Байеса. В дальнейшем даются схемы Бернулли, асимптотические теоремы Лапласа, излагаются случайные величины и их распределения, числовые характеристики, закон больших чисел, предельные теоремы, вопросы приложений и т. д. Такой круг вопросов в неаксиоматической модели изложения основ теории вероятностей традиционен. Некоторые вариации их последовательности и содержания не меняют общую картину.
Аксиоматическое изложение основ теории вероятностей началось, в сущности, с работы А. Н. Колмогорова¹ и идет по следующей схеме.
Понятие случайного события идентифицируется с понятием множества. Для этого вводится понятие пространства элементарных событий как множества всех возможных результатов некоторого испытания. Рассматриваются его подмножества. Они интерпретируются как случайные события. Строится алгебра множеств, в которой устанавливается полное соответствие с алгеброй событий. В дальнейшем вводятся аксиомы, приписывающие событиям вероятности. Аксиомы содержат в себе все свойства вероятностей. Далее рассматриваются конструктивные приемы отыскания первоначальных вероятностей — классическое, статистическое, геометрическое определения вероятностей. Они связывают теоретическую модель с практическим содержанием вероятности. Последующее изложение в элементарной теории вероятностей идет примерно по схеме неаксиоматической теории. В более серьезных курсах используется интеграл Лебегa, который интерпретируется как математическое ожидание случайной величины, и т. д.
Выбор схемы изложения и модели обучения теории вероятностей зависит от общего уровня знаний учащихся, от целей обучения.
Уровни обучения
Обучение теории вероятностей и статистике в школе условно можно проводить на трех уровнях:

1. 
   четвертый, пятый, шестой классы;
   
2. 
   седьмой, восьмой, девятый классы;
   
3. 
   1-3 курсы колледжа или лицея.
   

Естественно, каждый уровень требует своей собственной программы и предъявляет свои требования к выбору методической модели обучения.
Скажем, на низшей ступени изучения теории вероятностей и статистики должны превалировать приемы, опирающиеся на наблюдение и оценку реальных явлений окружающего нас мира, они должны быть естественными. Исходя из этих соображений должен быть отобран соответствующий материал и разработана методика его изучения.
На самой высокой ступени, скажем, в 9 — 10 классах, можно проводить изложение, пользуясь понятиями производной и интеграла.
Пути обучения
Изучать теорию вероятностей и статистику можно следующим образом: при изучении непосредственно самих математических дисциплин, при помощи межпредметных связей, т. е. с использованием других учебных предметов, и, наконец, в виде самостоятельной дисциплины или отдельной главы курса математики.
Обучение может проводиться и комплексно, т. е. одновременно как при помощи внутрипредметных и межпредметных связей, так и самостоятельно. Выбор способа обучения подразумевает и соответствующие методические приемы обучения.
Оптимальный вариант обучения зависит от многих параметров: от объема материала, от характера аудитории, ее подготовленности, наличия учебных пособий, даже от вкуса преподавателя и т. д.
Но преподаватель всегда должен иметь в виду, что в силу необычности, новизны материала урок следует продумать до «мелочей», обращая особое внимание на активизацию всех учащихся. Следует добиваться понимания материала всеми. Сосредоточение на самых существенных идеях должно лежать в основе обучения.
Теоретико-вероятностные рассуждения сопровождаются примерами, экспериментами и могут быть громоздкими. Поэтому рассуждения должны заканчиваться четким выделением цели занятия, формулировок, определений главного, а само обучение должно сопровождаться тщательно продуманными смысловыми ударениями. Психолого-педагогические особенности теории вероятностей должны лежать в основе построения методической модели обучения. Например, из этих особенностей вытекает, что учащиеся при изучении теории вероятностей не должны перегружаться. Это облегчит в обстановке ее необычности восприятие науки, а неполная информация может быть, при необходимости, восполнена в будущем.
Ниже будет рассмотрен метод А.П.Колмогорова изучения основных понятий теории вероятностей.