Учебное пособие "Методика преподавания математики"

2.Четырехугольники – методика их изучения. Приведем пример разработки урока по теме «Четырехугольники».
Цель урока: ознакомить учащихся с понятием «четырехугольник», рассмотреть его элементы и виды, рассказать учащимся о классификации четырехугольников.
Оборудование: таблицы, плакаты, магнитофон.
Ход урока:
1. Объяснение нового материала «Четырехугольник и его элементы».
На доске вывешен плакат, на котором изображены фигуры (плакат 1).
Плакат 1

Учитель: Ребята, как вы думаете, какие из данных фигур являются четырехугольниками?

Ребята: Фигуры 4, 5, 9, и 10 являются четырехугольниками.
Учитель: Верно. Но вы не назвали фигуры 2, 6, 7. Ведь они тоже состоят из четырех последовательно соединенных отрезков и точек. Почему вы не считаете их четырехугольниками?
Ребята: У фигур 6 и 7 три точки расположены на одной прямой.
У
Рис а
















читель: Действительно, если взять любые три точки, лежащие на одной прямой, и одну не лежащую на ней точку, соединить последовательно их отрезками, то получится фигура, но не четырехугольник, т. е. у четырехугольника никакие три точки не должны лежать на одной прямой. (см. рис. а).
Посмотрите, а у фигуры 2, никакие три точки не лежат на одной прямой, но ее нельзя назвать четырехугольником. Почему?
Ребята: Неправильно, соединены отрезками точки.
Учитель: Как следовало бы соединить отрезками точки, чтобы фигура 2 являлась четырехугольником?
Ребята: Последовательно, т. е. так, чтобы соединяющие эти точки отрезки не пересекались.
У читель: Правильно. Значит, четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не должны лежать на одной прямой, а соединяющие их отрезки не должны пересекаться. Данные точки, как и у треугольника, называются вершинами треугольника, а соединяющие их отрезки - сторонами четырехугольника. Четырехугольник обозначается его вершинами. Например, здесь изображен четырехугольник МКСД (см. рис. б).
Вершины четырехугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Вершины, не являющиеся соседними, называются противолежащими.

Рис б

Посмотрите на рисунки 1 и 2, изображенных на плакате. Назовите соседние вершины и противолежащие вершины четырехугольников.

Учитель: Углом четырехугольника АВСD (рис. в) при вершине А называется угол, образованный полупрямыми АВ и АD. В четырехугольнике четыре угла, от чего и произошло название четырехугольник. На рисунках 3 и 4 отмечены углы четырехугольников. Углы при соседних вершинах называются соседними углами а углы при противолежащих вершинах - противолежащими углами.
П осмотрите на рисунки 5 и 8 и назовите противолежащие углы и соседние углы.

Плакат 2

Элементы четырехугольника

Рис 1 Рис2 Рис 3 Рис 4 Рис 5 Рис 6 Рис 7 Рис 8 Рис 9 рис 10

Учитель: Отрезки, соединяющие противолежащие вершины четырехугольника, называются диагоналями. Сколько можно провести диагоналей в четырехугольнике?

Ребята: Две.
Учитель: По рисункам 6 и 7 назовите диагонали.
Ребята, посмотрите на рисунок 9. Стороны четырехугольника, исходящие из одной вершины, называются соседними сторонами. Назовите их.
На рисунке 10, как вы заметили, отмечены одним цветом какие стороны четырехугольника?
Ребята: Противолежащие.
Учитель: Да, это противолежащие стороны четырехугольника. Они не имеют общих точек. Как вы думаете, имеет ли противолежащие вершины и стороны треугольник?
Ребята: В треугольнике их нет.
Учащиеся в тетрадях, учитель на доске оформляют первую часть объясняемого материала в виде краткого конспекта.
A BCD – четырехугольник.
A, B, C, D – вершины четырехугольника.
AB, BC, CD, DA – стороны
четырехугольника.
A и B, B и C, C и D, D и A – соседние вершины четырехугольника.
A и C, B и D – противолежащие вершины.
A, B, C, D – углы четырехугольника.
A и B, B и C, C и D, D и A – его соседние углы;
 B и  D,  A и  C – противолежащие углы.
АС и ВD – диагонали четырехугольников.
AВ и BС, BC и CD, CD и DA, DA и AB – соседние стороны;
AВ и DC, AD и BC – противолежащие стороны.
«Выпуклые и невыпуклые четырехугольники».
Учитель: Ребята, четырехугольники делятся на две группы: выпуклые и невыпуклые (см. рис. 3 и 4). (плакат 2).
Ч етырехугольник называется выпуклым, если он расположен в одной полуплоскости относительно, содержащей любую его сторону. При этом сама прямая считается принадлежащей плоскости. Остальные четырехугольники называются невыпуклыми. Можно заметить, что у невыпуклых четырехугольников имеется угол больше развернутого.

Мы будем изучать только выпуклые четырехугольники. (Ребята чертят в тетрадях выпуклый и невыпуклый четырехугольники).

«Классификация четырехугольников».

Изложение материала проводится в виде сказки. Учителем заранее заготовлены различные виды выпуклых четырехугольников, которые прикрепляются к доске.

Учитель: Ребята, сейчас я расскажу вам интересную сказку о том, как жили четырехугольники и что произошло с ними.

По ходу рассказа сказки учитель передвигает четырехугольники в соответствии с тем как они классифицируются.
Учитель: В некотором ханстве, называемой Геометрией, жили-были Четырехугольники.
Жили они мирно и дружно, ходили друг к другу в гости. Однажды на смотре красоты выяснилось, что среди них есть Четырехугольники, имеющие параллельные стороны. Стали они страшно задаваться, хвастаться своими свойствами. Решили они называть себя Трапециями и отделяться от всех.

Трапеции

Но позже оказалось, что среди Трапеций есть такие, у которых и другие две противолежащие стороны параллельны. Какой это было честью для них, Они отделились и назвали себя Параллелограммами. И стали они восхвалять себя, гордиться своими свойствами и утерли нос Трапециям. Параллелограммы сказали им: «Подумаешь, у вас одна пара параллельных сторон, а у нас их две, да и свойства у нас больше ваших, мы не хотим жить с вами». И выделились Параллелограммы в отдельное общество. И стали они жить отдельно.

Наступило в ханстве долгожданный мир.

Но вот в пятницу, когда все отдыхали, стали Параллелограммы присматриваться друг к другу. И вдруг оказалось, что у одних все стороны равны, а у других – все углы равны, а третьи – только с двумя парами параллельных сторон. И опять начались ссоры. Каждая из названных групп гордились своими свойствами. И решили они разделиться. Одни остались Параллелограммами, другие назвались Ромбами, а третьи – Прямоугольниками. Казалось бы все уладилось, ведь все разделились по родственным признакам. Во всех обществах только и говорили, что какие они похожие между собой. Пока однажды не заметили Ромбы, что среди них есть Четырехуголь-

Параллелограммы Ромбы Прямоугольники

ники с равными углами. «Уходите к своим», - приказали Ромбы. Но их и Прямоугольники не приняли. Увидев, что среди них есть четырехугольники с равными сторонами, они страшно возмутились и предложили им удалиться. Так и пришлось им жить отдельно и называться Квадратами. Вот так и образовались новые ханства, которые стали называться ханствами Четырехугольников, Трапеций, Параллелограммов, Ромбов, Прямоугольников, Квадратов, т.е. произошла классификация четырехугольников и в геометрическом ханстве навсегда воцарился мир.
Итак, мы познакомились с классификацией четырехугольников. Ее можно представить в виде схемы, указанной на следующей таблице. Вывешивается на доске таблица 1.
Учитель: Вы видите, ребята, что ближайшими «родственниками» квадрата являются ромб и прямоугольник, у которых, в свою очередь, ближайшими «родственниками» являются параллелограммы и т.д. Мы в дальнейшем будем подробно изучать все эти четырехугольники и их свойства.
II. Закрепление нового материала.
а) Вывешивается на доске таблица 2.
Фронтальный опрос учащихся
1) Ребята, назовите по таблице четырехугольники.
2) Какая фигура называется четырехугольником?
3) Какие вершины четырехугольника называются соседними, какие – противолежащими?
4) Что такое угол четырехугольника? Какие углы в четырехугольнике называются соседними? Противолежащими?
5) Какие стороны четырехугольника называются соседними, какие – противолежащими?
6) Какой отрезок называется диагональю четырехугольника?
7) На какие группы и виды делятся четырехугольники?
б) Проверка усвоения материала с помощью математического диктанта, записанного на магнитофон.
Учащиеся отвечают на вопросы теста (тесты написаны на листках и розданы) и на вопросы под рисунком («да» или «нет»).

Тест:
1. Можно ли назвать данную фигуру четырехугольником?

а ) б)

2. Является ли выпуклым четырехугольник?

а) б)
3. Являются ли стороны АВ и CD четырехугольника ABCD:

B

C

а) соседними, б) противолежащими?

A

D

III. Подведение итогов урока.

Итак, ребята, сегодня мы с вами познакомились с понятием "четырехугольник", рассмотрели его виды, узнали об их классификации. Мы подробно изучили соседние и противолежащие вершины, углы и стороны четырехугольника.