Учебное пособие "Методика преподавания математики"

Иррациональные неравенства. Под иррациональным неравенством понимается неравенство, в котором неизвестные величины (или некоторые функции неизвестных величин) находятся под знаком радикала. Для того чтобы найти множество решений иррационального неравенства, приходится, как правило, возводить обе части неравенства в натуральную степень. При этом (в силу принципиальной невозможности проверки полученных решений подстановкой) необходимо следить за тем, чтобы при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, эквивалентное исходному.
При решении иррациональных неравенств следует помнить, что при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, эквивалентное исходному неравенству. Если же обе части неравенства возводить в четную степень, то будет получаться неравенство, эквивалентное исходному и имеющее тот же знак лишь в случае, если обе части исходного неравенства неотрицательны.
Отметим, что:
1) все корни четной степени, входящие в уравнение, являются арифметическими (другими словами, если подкоренное выражение отрицательно, то корень лишен смысла; если подкоренное выражение равно нулю, то корень также равен нулю; если подкоренное выражение положительно, то и значение корня положительно).
2) все корни нечетной степени, входящие в уравнение, определены при любом действительном значении подкоренного выражения (при этом корень отрицателен, если подкоренное выражение отрицательно; равен нулю, если подкоренное выражение равно нулю; положителен, если подкоренное выражение положительно).
3) функции являются возрастающими на своей области существования.
Используя эти свойства, в некоторых случаях можно установить, не прибегая к преобразованиям, что уравнение не имеет решения.
При возведении обеих частей иррационального уравнения в степень, позволяющую избавиться от радикалов, появление посторонних корней исходного уравнения происходит, как правило, по следующим причинам:
а) за счет возможного расширения области допустимых значений (ОДЗ) исходного уравнения (т. е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения);
б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительная, а другая отрицательная.
Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно проводить таким образом.
1. Найти ОДЗ исходного уравнения.
2. Перейти от уравнения к его следствию.
3. Найти корни полученного уравнения.
4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.
Проверка состоит в следующем:
а) проверяется принадлежность каждого найденного корня ОДЗ исходного уравнения (те корни, которые не принадлежат ОДЗ, являются посторонними для исходного уравнения);
б) для каждого корня, входящего в ОДЗ исходного уравнения, проверяется, имеют ли одинаковые знаки левая и правая части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень (те корни, для которых части какого-либо возводимого в четную степень уравнения имеют разные знаки, являются посторонними для исходного уравнения);
в) только те корни, которые принадлежат ОДЗ исходного уравнения и для которых обе части каждого из уравнений, возникающих в процессе решения исходного уравнения и возводимых в четную степень, имеют одинаковые знаки, проверяются непосредственной подстановкой в исходное уравнение.
Такой метод решения с указанным способом проверки позволяет избежать громоздких вычислений в случае непосредственной подстановки каждого из найденных корней последнего уравнения в исходное.
Некоторые преобразования приводят к тому, что ОДЗ полученного уравнения не содержит некоторой части ОДЗ исходного уравнения и в то же время имеет часть, не содержащуюся в ОДЗ исходного уравнения. Делая такие преобразования, можно получить уравнение, среди корней которого нет некоторых корней исходного уравнения и в то же время среди корней полученного уравнения содержатся посторонние его корни.
Чтобы избежать потери корней и появления посторонних корней, целесообразно решать уравнение методом равносильного перехода, т. е. решать уравнение только на его ОДЗ, заменяя уравнение равносильным. Если желаемое преобразование уравнения или его членов на всей ОДЗ сделать нельзя, то надо разбить ОДЗ уравнения на части и на каждой из этих частей решить уравнение. Затем, объединяя множества решений уравнения на всех частях ОДЗ уравнения, получим множество всех решений уравнения [19].