Учебное пособие "Методика преподавания математики"

О различных формулировках определений производной

В учебниках встречаются несколько различных формулировок определений производной.
Производной функции f в точке х₀ называется число, к которому стремится разностное отношение при ∆x→0 (по Колмогорову А.Н.)
Предел разности отношения при h→0 (если этот предел

существует) называется производной функции в точке х и обозначается . Таким образом, = ( по Алимову Ш.А.).

Производной функции у=f(x) называется предел отношения при стремлении х₁ к х (по Башмакову М.И.).
Заметим, что в последнем случае говорится не о производной в точках, а о "производной при х_1→R х". Общепринятый сейчас термин "производная в точке" представляется более удачным: он короче и создает преемственность с термином "предел функции в точке". Важно однако, чтобы учащиеся понимали различия в использовании слова "точка" (например, "производная в точке" и "точка касания"). На первых порах точку, в которой ищется производная, целесообразно обозначить через х₀ (а не х), чтобы нагляднее отобразить соответствие х₀ с f(х₀).
Обозначение аргумента через х используется тогда, когда производная начинает рассматриваться как функция; при этом в каждой конкретной задаче, например при выводе формул дифференцирования, следует отмечать, что предел находится при условии ∆x→0, а значения х и ∆x независимы, т.е. х рассматривают как постоянную.
Важно, чтобы ученики запомнили символическую запись и хорошо понимали смысл входящих в нее символов; тогда, вообще говоря, отпадает необходимость в заучивании словесной формулировки определения.

4. 
   Введение понятия производной
   

Понятию производной должно предшествовать рассмотрение двух-трех задач о мгновенной скорости, о касательной линии, а затем перейти к задачам на скорость изменения функции (например, задачи, рассмотренные выше), т.е. понятие производной функции должно формироваться на основе задач, приводящих к этому понятию. Заметим, что чем задачи разнороднее, тем лучше, так как именно разнородностью приложения подчеркивается общность понятия производной. Отметим также, что рассмотрение задачи о мгновенной скорости позволяет выяснить механический смысл производной, а задачи о касательной к линии - ее геометрический смысл.
Рассмотрев с учащимися задачи, решение которых приводит к необходимости вычисления предела отношения приращения функции к вызвавшему ее приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю, следует отметить целесообразность изучения предела такого вида произвольной функции.
Внимание учащихся обращается на то, что решение каждой рассмотренной выше конкретной задачи, по существу, сводится к следующему.
Рассматривается функция f(х), определенная на некотором интервале (а;b). Берется некоторая точка х₀ -фиксированная точка интервала (a;b) и точка х₀+∆x - произвольная точка интервала (а; b) (∆x -приращение аргумента, которое может быть как положительным, так и отрицательным).
Рассматривается приращение функции, соответствующее приращению аргумента ∆x: , и затем отношение приращения функции ∆f к вызвавшему его приращению аргумента ∆x: .
Данное отношение есть функция переменной ∆x, определенная для всех значений ∆x из интервала (a-x, b-x), кроме ∆x =0. Имеется предел функции F(∆x) при ∆x→0. Если он существует, то его называют производной функции f(x) в данной точке х.