Учебное пособие для студентов магистерских программ москва Екатеринбург 014 удк ббк п

Модели стационарных временных рядов 
Для стационарных временных рядов рассматривают 3 основных 
типа моделей. 
1. Модели авторегрессии порядка 
р
(АР(
р
)-модели).
В этих моделях текущее значение случайного остатка временно-
го ряда 
)
(
t

выражается через линейную комбинацию 
р
предыдущих 
значений процесса плюс случайный импульс 
)
(
t

: 
)
(
)
(
)
(
1
t
j
t
a
t
p
j
j








(6.12) 
Последовательность случайных величин 
δ
(1), 
δ
(2), … образует 
белый шум, то есть подчиняется нормальному закону распределения 
с нулевым средним и дисперсией, не зависящей от времени. 
2. Модели скользящего среднего порядка 
q
(СС(
q
)-модели, 
Moving Average models MA (
q
)). 
Модели СС(
q
) формулируются в терминах общего линейного 
процесса, представимого в виде взвешенной суммы настоящего и 
прошлых 
q
значений белого шума: 
)
(
...
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
2
1
q
t
t
t
t
t
q
















(6.13) 
Смысл термин «скользящее среднее» в моделях СС(
q
) отличает-
ся от понятия скользящего среднего, используемого при сглаживании 
временного ряда. Так, сумма весовых коэффициентов не равна 1.
3. Авторегрессии - скользящего среднего (АРСС(
p,q
), ARMA(
p,q
)). 
В этом случае в модель включаются как члены, описывающие 
авторегрессию, так и члены, моделирующие остаток в виде скользя-
щего среднего. 
)
(
...
)
2
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
q
t
t
t
t
j
t
a
t
q
p
j
j





















(6.14) 
В практических целях обычно бывает достаточно использовать 
модели АР, СС, АРСС при р и q, не превышающих 2. 
 
Модели нестационарных временных рядов 
Очевидно, что реальные временные ряды, встречающиеся в эко-
номике, как правило, не являются стационарными. Их нестационар-

---

204 
ность чаще всего проявляется только в наличии зависящей от време-
ни неслучайной составляющей 
f(t)
. Такие ряды называются стацио-
нарно однородными. 
Временной ряд 
x(t)
называется нестационарным однородным, 
если его случайный остаток 
)
(
t

, полученный вычитанием из ряда 
x(t)
его неслучайной составляющей 
f(t)
, представляет собой стационар-
ный (в широком смысле) временной ряд. 
Рассмотрим далее модели нестационарных однородных рядов. 
Для описания нестационарных процессов пользуются экспонен-
циально взвешенными средними (см, выше). В более общем случае 
рассматривают модели Бокса и Дженкинса 

авторегрессии-
проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС)
62
.