|
Алгоритмические методы сглаживания (методы скользящего
среднего)
В основе этих методов лежит следующее положение: если раз-
брос значений отдельных членов временного ряда
x(t)
около своего
среднего значения
а
характеризуется дисперсией
σ
, то разброс сред-
него из
N
членов временного ряда ((
х(1) + х(2) +… +x(N
))/
N
около то-
го же значения
а
будет характеризоваться существенно меньшей ве-
личиной дисперсии
σ
2
/N
. Уменьшение дисперсии означает сглажива-
ние соответствующего ряда.
Таким образом,
метод скользящего среднего
(МСС) основан на
переходе от начальных значений ряда к их средним значениям на ин-
тервале времени, длина которого выбрана заранее. Этот интервал
времени часто называют «окном». При этом сам выбранный интервал
скользит вдоль ряда. В результате можно получить представление об
общей тенденции поведения ряда. Применение метода скользящего
среднего очень полезно для рядов с сезонными колебаниями и нечет-
201
ким характером тренда. Например, переход к ряду скользящих сред-
них может быть использован для выявления сезонной компоненты
временного ряда.
При реализации методов скользящего среднего выбирают неко-
торую нечетную «длину усреднения»
N = 2m + 1
, измеренную в чис-
ле подряд идущих членов анализируемого временного ряда. Значение
числа
m
зависит от специфики исходных данных, обычно принимае-
мое значение
m
не превосходит трех. Затем сглаженное значение
f(t)
временного ряда
x(t)
вычисляют по значениям
x(t - m), x(t - m + 1), ...,
x(t), x(t + 1),..., x(t + m)
по формуле
)
(
)
(
ˆ
k
t
x
t
f
m
m
k
k
,
t=m+1, m+2, ..., n-m
,
(6.10)
Здесь
ω
k
– некоторые положительные весовые коэффициенты
(«веса»), которые в сумме равные единице.
Разные методы МСС отличаются друг от друга значениями па-
раметров
m
и
ω
k
.
Можно показать
61
, что если локальное поведение сглаженной
функции
f(t)
описывается алгебраическим полиномом 1-й степени
(линейный характер локальной аппроксимации) то в качестве его
сглаженного значения в точке
t
следует брать среднее арифметиче-
ское из окаймляющих его 2
m
+ 1 соседних значений, то есть все весо-
вые коэффициенты одинаковы и равны l/(2
m
+ 1).
В методе скользящего среднего вместо среднего значения мож-
но использовать медиану значений, попавших в окно. Основным пре-
имуществом медианного сглаживания по сравнению со сглаживанием
по методу скользящего среднего является тот факт, что результаты
становятся более устойчивыми к имеющимся внутри окна выбросам.
Однако этот метод не позволяет использовать веса и при отсутствии
явных выбросов приводит к менее гладким кривым, чем сглаживание
скользящим средним.
Выбор размера окна сглаживания при использовании МСС осу-
ществляется на основе содержательного анализа временного ряда.
Например, при сглаживании ряда, содержащего сезонную компонен-
ту, необходима привязка к периоду сезонности. Для временных ря-
дов, не содержащих сезонной компоненты, чаще всего размер окна
61
Айвазян С.А., Мхиатрян В.С. Прикладная статистика и основы эконометрики. Учебник для вузов. –
М.:ЮНИТИ, 1998. – 1022 с.
202
сглаживания выбирают равным трем, пяти и семи. Чем больше раз-
мер окна, тем более гладкий вид имеет график скользящих средних.
Метод экспоненциального сглаживания
В рассмотренных методах скользящего среднего предполага-
лось, что все исходные статистические данные (
t, x(t)), t
= 1, 2,...,
N
),
имеют равный вес. Однако при решении задач прогнозирования до-
вольно часто последним по времени наблюдениям придается боль-
ший вес, чем наблюдениям, относящимся к более далекому прошло-
му. Наиболее распространенным методом, учитывающим в большей
степени последние наблюдения, является
метод экспоненциально
взвешенного скользящего среднего
.
В этот методе, в отличие от метода скользящего среднего, при
определении экспоненциального среднего используются все значения
исходного временного ряда, однако они берутся с разными весовыми
коэффициентами. Более ранним наблюдениям приписываются экспо-
ненциально убывающие веса. Формула метода простого экспоненци-
ального сглаживания имеет следующий вид:
)
(
1
1
)
(
ˆ
1
0
k
t
x
t
f
t
k
k
t
(6.11)
Здесь λ – некоторое положительное число, меньшее единицы;
)
(
k
t
x
– значение временного ряда в точке, отстоящей от времени
t
на
k
тактов в прошлом.
В отличие от обычного МСС в методе экспоненциального сред-
него скользит только правый конец, в то время как левый закреплен в
точке
t
= 1 и веса при
x(t - k)
экспоненциально уменьшаются по мере
удаления в прошлое, то есть по мере роста
k
.
Метод последовательных разностей
Если процесс не удовлетворяет условию стационарности, то его
преобразуют, используя различные методы выделения неслучайной
составляющей временного ряда. Одним из широко используемых ме-
тодов является метод последовательных разностей членов анализи-
руемого временного ряда.
Для ряда чисел
x(1), x(2),..., x(n)
последовательные разности пер-
вого порядка для этого ряда рассчитываются как
Δx(t) = x(t) - x(t - 1)
,
t
= 2,...,
n
. Последовательные разности 2-го порядка — это разности от
последовательных разностей, т.е.
Δ
2
x(t) = Δ(Δx(t)) = Δx(t) - Δx(t-1)
.
Аналогично определяется последовательная разность любого k-
го порядка:
203
Δ
k
x(t) = Δ(Δk-1x(t)) = Δx(t) - Δx(t-1)
.
При подборе аппроксимирующего полинома порядка
p
переход
к последовательным разностям
x(1), x(2),..., x(n)
, повторенный
p
+ 1
раз, исключает неслучайную составляющую (включая константу
a
0
).
Do'stlaringiz bilan baham: |
