Учебное пособие для студентов магистерских программ москва Екатеринбург 014 удк ббк п

Корреляционный анализ 
Существенным моментом в статистических исследованиях явля-
ется выявление зависимости между переменными, характеризующи-
ми различные свойства объектов.
Между случайными величинами 
и 
может существовать: 
1.
Функциональная взаимосвязь

зависимость, при которой каж-
дому значению переменно 
соответствует точно определенной зна-
чение 
. 
2.
Стохастическая взаимосвязь 

связь, при которой изменение 
значения одной переменной приводит к изменению закона распреде-
ления.
3.
Статистическая взаимосвязь 

 
зависимость, при которой 
значение одной переменной изменяется в среднем от того, какие зна-
чения принимает другая переменная. 
Задачей 
корреляционного анализа
является доказательство нали-
чия этой связи и ее силы
. 
Выявление характера (в аналитической 
форме) этой связи относится к классу задач 
регрессионного анализа
. 
Если совместное распределение 
и 
является нормальным, то 
статистические выводы основывают на выборочном коэффициенте 
линейной корреляции, в остальных случаях используют коэффициен-
ты ранговой корреляции Кендалла и Спирмена, а для качественных 
признаков – критерий хи-квадрат.

---

147 
Независимо от типа, две или более переменных связаны (зави-
симы) между собой, если наблюдаемые значения этих переменных 
распределены согласованным образом. Другими словами, мы гово-
рим, что переменные зависимы, если их значения систематическим 
образом согласованы друг с другом в имеющихся у нас наблюдениях. 
Рассмотрим способы измерения связи между двумя случайны-
ми переменными. Пусть исходными данными является набор случай-
ных векторов 
Выборочной ковариацией, или корреляционным моментом, на-
зывается величина 
)
)(
(
1
1
1
y
y
x
x
n
K
i
n
i
i
xy






, 
(5.19) 
где
x
, 
y
– средние значения величин. 
Ковариация описывает как степень разброса возможных значе-
ний случайных величин 
относительно своих средних значений, 
так и статистическую связь между ними. Для описания собственно 
степени статистической связи между случайными величинами ис-
пользуют безразмерную величину, называемую парным коэффициен-
том корреляции. 
Выборочным линейным парным коэффициентом корреляции 
Пирсона называется величина 
: 
2
1
2
1
1
)
(
)
(
)
)(
(











n
i
i
n
i
i
i
n
i
i
n
y
y
x
x
y
y
x
x
r
, 
(5.20) 
Коэффициент корреляции Пирсона
имеет четкий смысл как 
характеристика степени тесноты связи только для нормально распре-
деленных величин. Значение 
свидетельствует о наличии пол-
ной функциональной зависимости между этими величинами, в то 
время как значение 
говорит об их полной независимости. 
Коэффициент корреляции Пирсона 
, средние и дисперсии 
нормально распределенных случайных величин 
и 
дают исчерпы-
вающие сведения об их стохастической зависимости, так как одно-
значно определяют их двумерный закон распределения. 
Статистическую связь между переменными 
и 
можно наглядно 
продемонстрировать с помощью диаграмм рассеяния. Точки данных на 
диаграмме изображаются точками в двумерном пространстве, где оси 

---

148 
соответствуют переменным. Две координаты (
и 
), которые опреде-
ляют положение каждой точки, соответствуют значениям двух пере-
менных для этой точки. Если две переменные сильно связаны, то мно-
жество точек данных принимает определенную форму (например, пря-
мой линии или кривой). Если же переменные не связаны, то точки об-
разуют «облако». На рисунке 5.8 представлены примеры диаграмм рас-
сеяния для различных значений коэффициента корреляции.