Учебно-методический комплекс по предмету наноэпитаксиальные слои и гетеросистемы Ташкент-2022 год. Данный учебный материал предназначен для магистров специальности «Нанотехнология полупроводниковых материалов»

Рис. 4.8.

частица приближается к барьеру со стороны отрицательных значений  , т.е. движется слева направо. Рассмотрим случай, когда энергия частицы  меньше высоты потенциального барьера  , т.е.  ( случай  рассмотрен в задаче 4.7 данного параграфа).
Уравнение Шредингера в областях I, II и III имеет вид

(4.47)

где 
Волновые функции, являющиеся решением уравнений (4.47), есть

(4.48)

Как обычно, будем считать амплитуду падающей на барьер волны де Бройля  , а также положим коэффициент  , принимая во внимание, что при движении частицы слева направо в области III может распространяться только проходящая волна.
Условие сшивки волновых функций и их производных на границах барьера, т.е. при  и  , приводят к следующей системе уравнений

(4.49)

Система (4.49) представляет собой систему четырех уравнений с четырьмя неизвестными - коэффициентами  . Эта система имеет решение при любых значениях параметров  и  , т.е. при любых значениях энергии частицы  . Следовательно, энергетический спектр частицы является непрерывным.
Основное внимание в данной задаче сосредоточим на анализе прохождения частицы через барьер. Решая систему (4.49) , для амплитуды  прошедшей через барьер волны получаем


Найдем вектор плотности потока вероятности для падающей на барьер и прошедшей через него волны. С учетом (4.36) , (4.48) получаем


Подставляя  и  в (4.37) , находим коэффициент прохождения частицы через барьер

(4.50)

где гиперболический синус


В случае, когда ширина барьера  удовлетворяет условию  (приведенные выше численные оценки показывают, что для электрона это условие выполняется уже при ширине  в несколько атомных слоев),  и гиперболический синус можно заменить экспонентой


Коэффициент прохождения частицы через порог  в этом случае принимает вид


Подставляя сюда выражения для  и  , получаем


Здесь коэффициент  является медленно изменяющейся функцией отношения  , численное значение которой по порядку величины сравнимо с единицей. Основной вклад в зависимость  от параметров задачи дает экспонента. Поэтому в большинстве случаев при оценке коэффициента прохождения через потенциальный барьер полагают  . При этом выражение для  принимает вид

(4.51)

Из (4.51) следует, что коэффициент прохождения  испытывает сильную (экспоненциальную) зависимость от ширины барьера  , массы частицы  и разности энергий  .
Обобщим полученный результат на случай потенциального барьера произвольной формы. Для этого представим потенциальный барьер в виде последовательности большого числа узких прямоугольных потенциальных барьеров, расположенных один за другим (рис.4.9а) . Будем считать, что