Tutash muhitlar mexanikasining predmeti va usullari

Tenzorlar ustida amallar

Komponentalari quyidagicha aniqlanuvchi ob’ektga tenzor deyiladi
. (1) Agar bu tenzor uchun shart bajarilsa simmetrik, shart bajarilsa antisimmetrik deyiladi.
Tenzor simmetrik va antisimmetrik qismlarga quyidagicha ajratiladi
, , . (2)
Umumiy holda tenzor sharsimon va deviator qismlarga quyidagi formula bo’yicha ajratiladi
, . (3)
Tenzorning bosh qiymatlari (komponentalari) quyidagi tenglamadan topiladi
. (4)
Bosh qiymatlarga mos bosh yo’nalishlar esa quyidagi tenglamalardan topiladi
(5)
Tenzor sirti esa quyidagi tenglamadan aniqlanadi
. (6)

4. 
   Tutash muhit mexanikasining asosiy gipotezalari
   

Shunday qilib quyidagi asosiy gipotezalarga ega bo’ldik.

1. 
   jism zarrachalari jism joylashgan fazo bo’lagini (qismini) tutash, (bo’shliqlarsiz) to’ldiradi. Bu zarrachalar cheksiz kichik hajmga ega bo’lib mexanik parametrlarga egadir (zichlik, harorat va h.k.);
   
2. 
   Jism harakat qiladigan fazo YYevklid fazosi bo’lib, bu shunday fazoki unda hamma nuqtalar uchun umumiy bo’gan Dekart koordinatalari sistemasini kiritish va ixtiyoriy nuqtalar orasidagi masofani aniqlash uchun yagona formula beriladi. Masofaning o’lchov birligi sifatida Parij meridianining milliondan bir bo’lagi – metr qabul qilingan.
   
3. 
   Vaqt absolyutdir. Ya’ni u har qanday koordinatalar sistemasida bir xil va bir tekis o’tadi, boshqacha aytganda koordinatalar sistemasining nisbiy harakati bilan uzviy ravishda bog’langan. Vaqt birligi sifatida o’rtacha quyosh sutkasining 86400 dan bir qismi – sekund qabul qilingan.
   

5. 
   Deformatsiyaning birgalik tenglamalari
   

Ma’limki, deformatsiya tenzorining komponentalari
(8.14)
tengliklar bilan aniqlanadilar. Ko’chish vektori mavjud bo’lganda metrikalari quyidagi

1. 
   t – payt uchun
   

(8.15)

2. 
   t _o- payt uchun
   

(8.16)
formula bilan aniqlovchi

kvadratik shakllarning har ikkalasi ham Evklid fazosidagi biror element uzunligining kvadratini ifodalaydilar. Shuning uchun, fazoning evklidligi shartidan kelib chiqib, har ikkala g_{i j} va fundamental metrik tenzorlar nolga teng bo’lishlari kerak degan xulosaga kelamiz. Bu esa o’z navbatida keltirilgan
(8.17)
Va (8.18)
formulalarga asosan (8.19)
tenglamalarga olib keladi.
O’tgan paragrafdagi bazis vektorlaridan birlari ixtiyoriy ravishda tanlansa ikkinchilari
(8.20)
va (8.21)
formulalarga ko’ra deformatsiya yordamida to’liq aniqlanadi. Demak, (8.23) tenglamalardan biri Evklid fazosida bazis vektorlarini tanlash vositasida avtomatik qanoatlantiriladi, ikkinchisi esa bu holda deformatsiya tenzori komponentalari uchun tenglama deb qaralishi mumkin va bu holda ular deformatsiyalarning birgalik tenglamalari deb yuritiladi. Bu tenglamalarni (8.4) formulalar yordamida aniq ko’rinishda yozish mumkin. Hususiy holda ayni deformatsiya holati uchun dekart koordinatalari sistemasi tanlangan bo’lsa, bo’ladi, shuning uchun

birgalik tenglamalarini quyidagicha yozish mumkin:
, (8.22)
bu erda
Oxirgi (8.5) formulalardagi komponentalar quyidagi

matrisaning elementlari kabi aniqlanadi. Bu erda matrisa elementlari

bo’lgan matrisaga teskari matrisadir.

6.