Tutash muhitlar mexanikasining predmeti va usullari

Kontravariant va ko’variant bazis vektorlari.

Vektorning uzunligi koordinat sistemasini tanlashga nisbatan invariantdir. Ushbu faktni o’tgan ma’ruzada ham ta’kidlagan edik va bunday invariantlik ifodasi (2.21) dan iborat edi. Ana shu ifodaga asosan vektorning uzunligi

ko’rinishni oladi. Bundan
(5.2)
ya’ni kiritilgan g_pq - kattaliklar kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. Ko’rinib turibdiki g_ij kattaliklar uchinchi tartibli matrisani tashkil qiladilar. Bu matrisaning determinanti noldan farqli bo’lishini talab qilamiz, yа’ni

bo’lsin. U holda ga teskari matrisa mavjud bo’ladi va algebra kursidan malumki uning elementlari
g ^ij = k ^ij /  (5.3)
formuladan topiladi, bu yerda k^ij - matrisaning to’ldiruvchi minorlari, g_ij kattaliklar (5.2) formulaga asosan kovariant yo’l bilan almashtiriladilar. U holda g ^ij kattaliklar xuddi ikkinchi rang tenzorning T^ijkomponentalari singari (2.24) formulaga ko’ra kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar, ya’ni
(5.4)
Hosil qilingan g ^ij kattaliklari va bazis vektorlari yordamida

ikkinchi rang tenzorga ega bo’lamiz, hamda birorⁱkoordinatalari sistemasida
(5.5)
obyektlarni kiritamiz. Bu yerda masalan ixtiyoriy g¹ⁱ vektor quyidagiga teng

ya’ni g^1jlarga ko’paytirilgan uchta bazis vektorlarining yig’indisidan iborat.
Shunga o’xshash boshqa ¹, ², ³ koordinatalari sistemasida ham

kabi ifodani qabul qilish mumkin. Oxirgi (5.4), (5.5) va (2.19) formulalarga asosan bazis vektorlarini almashtirish formulalarini keltirib chiqaramiz

chunki

demak
(5.6)
Ko’rinib turibdiki bazis vektorlari kontravariant yo’l bilan almashtiriladilar va shuning uchun ham kontravariant bazis vektorlari deb ataladilar. Mos ravishda bazis vektorlari kovariant bazis vektorlari deb yuritiladi.

15.