Tutash muhitlar mexanikasining predmeti va usullari

Indeksli belgilash; to’g’ri burchakli va egri chiziqli koordinata sistemalari

Deformatsiya tenzorining bosh o’qlari va bosh komponentalari.

O’zgaruvchan hajm bo’yicha olingan integralni vaqt bo’yicha differensiallash

Metrik va diskriminant tenzorlar

1. 
   Tutash muhitlar mexanikasining predmeti va usullari.
   

Biz yaxshi biladigan odatdagi jismlar – suv, tuproq, havo, tosh, temir va hokazolarni fazoning biror bo’lagini butunlay to’ldirgan jism sifatida qaraymiz. Nafaqat oddiy moddiy jismlarni, balki har xil maydonlarni ham, masalan elektromagnit maydoni, gravitasion maydon va boshqalarni ham uzluksiz kontinuum sifatida qarash yoki hisoblash mumkin. Bundan keyin biz yuqorida eslatilgan jismlar va maydonlarni bitta umumiy nom bilan – Tutash muhitlar deb ataymiz. Ushbu muhitlarning mexanik xarakteristikalarini o’rganuvchi ularning o’zaro ta’siri, ulardagi boshqa jismlar harakatlari va muvozanatlari bilan bog’liq masalalarni o’rganuvchi fanni Tutash muhitlar mexanikasi deb ataydilar.
Moddiy jismlar harakatini o’rganishda tutash muhitlar mexanikasi asosan ikki usuldan foydalanadi – statistik hamda fenomenologik – makroskopuk usullar:

2. 
   Deformatsiya tenzori komponentalarini ko’chish vektori komponentalari orqali ifodalash
   

Endi ko’chish vektorini bazis vektorlari orqali yozamiz
,
ushbuga mos ravishda kovariant hosilalar quyidagicha yoziladi
(8.9)
bu yerda

Olingan (8.9) ifodalarning birinchisini (8.8) ifodaning birinchi qismiga qo’yamiz

Ma’lumki metrik tenzorning komponentalarini kovariant hosila belgisi ostiga kiritish mumkin. Bundan foydalansak yuqoridagi tenglikni quyidagicha yozish mumkin
(8.10)
Xuddi shunday (8.12) va (8.13) larning ikkinchi qismlaridan
(8.11)
Agar nisbiy ko’chishlarni cheksiz kichik deb hisoblasak ko’chish vektori hosilalarining ko’paytmalari va kvadratik hadlarni hisobga olmaslik mumkin. U holda (8.10) va (8.11) lardan
(8.12)
Ko’rinib turibdiki bu holda _{i j} lar simmetriklashtirilgan tenzorining komponentalari bilan ustma-ust tushadi.
Dekart koordinatalari sistemasida esa

3.