Tutash muhitlar mexanikasining predmeti va usullari

Kovariant hosilaning xossalari :

. Dekart koordinatalari sistemasida ( ⁱ = x ⁱ) kovariant hosila vektor komponentalaridan koordinata bo’yicha olingan oddiy hosila bilan bir xil bo’ladi. Haqiqatan,

bo’lganligidan u holda (6.10) dan

bo’ladi.
2. Kovariant hosilalar ikkinchi rang tenzorning komponentalari bo’ladilar. Haqiqatan, faraz qilaylik, ⁱ– yangi, ^j– eski koordinatalar sistemalari bo’lsin, u holda

va bu yerdan lar vektorning kovariant komponentalari kabi almashtirilishi kelib chiqadi.
Shuning uchun ob’ekt invariant ob’ektdir. U holda (6.9) va (6.10) formulalarga asosan,

ya’ni T – 2-rang tenzor va bu tenzorning komponentalari lardan iborat.

25. 
    Matlabda chiziqli tenglamalar sistemasini yechish.
    

26. 
    Ikkinchi rang tenzorlarning bosh yo’nalishlari.
    

27. 
    Deformatsiya tenzori.
    

a) bo’lgan hollar

1. 
   i = j bo’lsin, u holda
   

bu yerdan
(7.12)
Agar deformatsiya kichik bo’lsa, (7.12) ning o'ng tomonidagi ildizni qatorga yoyib dastlabki ikkita hadi bilan chegaralanilsa lar uchun
(7.13)
formula chiqadi. Bu yerdan yo’ldosh sistema Dekart koordinatalari sistemasidan iborat bo’lgan hol uchun
(7.14)
tenglikka ega bo’lamiz. Bu tengliklardan ko’rinadiki, cheksiz kichik deformatsiyalar holida deformatsiya tenzorining bir xil indeksli kovariant komponentalari Dekart o’qlari bo’yicha nisbiy uzayish koeffisiyetlariga tengdirlar;
2) bo’lsin. Soddalik uchun bazis vektorlari ortogonal bo’lsin deb faraz qilamiz. U holda,
bo’ladi, deb qabul qilsak (7.11) formuladan

ifodaga ega bo’lamiz. Bu yerdan
. (7.15)
Chunki
Oxirgi (7.15) formuladan ko’rinadiki, boshda to’g’ri bo’lgan burchaklar deformatsiya natijasida o’zgarib, kattarib yoki kichrayib qoladilar va komponentalar esa ana shu o’zgarishlarni xarakterlaydilar.
Agar deformatsiya cheksiz kichik bo’lsa va boshlang’ich holatdagi koordinat sistemasi Dekart koordinatalari sistemasidan iborat bo’lsa, deyish mumkin. U holda, (7.15) formula quyidagi ko’rinishni oladi:
(7.16)

28.