|
Birlik doirasi ta'riflari
Ushbu rasmda ixtiyoriy burchakning oltita trigonometrik funktsiyasi θ kabi ifodalanadi Dekart koordinatalari bilan bog'liq bo'lgan fikrlar birlik doirasi. Ning ordinatlari A, B va D. bor gunoh θ, sarg'ish θ va csc θmos ravishda, ning abscissalari esa A, C va E bor cos θ, karyola θ va soniya θnavbati bilan.
Har bir kvadrantdagi trigonometrik funktsiyalarning belgilari. Mnemonik "barchasi silm-fan teacherlar (bor) vrazy "I-IV kvadrantlardan ijobiy bo'lgan funktsiyalarni ro'yxatlaydi.[8] Bu mnemonikning o'zgarishi "Barcha talabalar hisob-kitob qilishadi".
Oltita trigonometrik funktsiyani quyidagicha aniqlash mumkin koordinata qiymatlari bo'yicha ballar Evklid samolyoti bilan bog'liq bo'lgan birlik doirasi, bu doira kelib chiqishi markazida joylashgan radiusi bir O ushbu koordinata tizimining Esa to'g'ri burchakli uchburchakning ta'riflari orasidagi burchaklar uchun trigonometrik funktsiyalarni aniqlashga imkon beradi 0 va radian (90°), birlik doirasi ta'riflari trigonometrik funktsiyalar sohasini barcha ijobiy va manfiy haqiqiy sonlarga kengaytirishga imkon beradi.
Aylanadigan a nur ning ijobiy yarmi yo'nalishi bo'yicha x- burchakka qarab eksa θ (soat sohasi farqli o'laroq uchun va soat yo'nalishi bo'yicha ) ushbu nurning kesishgan nuqtalarini (rasmga qarang) birlik bilan hosil qiladi doira: , va agar kerak bo'lsa nurni chiziqqa kengaytirib, bilan chiziq va bilan chiziq Nuqtadagi birlik doirasiga teguvchi chiziq A, bu nurga ortogonal bo'lgan, bilan kesishadi y- va x- nuqtalarda eksa va . Ushbu nuqtalarning koordinatali qiymatlari ning ixtiyoriy haqiqiy qiymatlari uchun trigonometrik funktsiyalarning mavjud bo'lgan barcha qiymatlarini beradi θ quyidagi tartibda.
Trigonometrik funktsiyalar cos va gunoh sifatida belgilangan, mos ravishda x- va y- nuqta koordinatalari A. Anavi,
va [9]
Oralig'ida , bu ta'rif to'g'ri burchakli uchburchakning aniqlanishiga to'g'ri keladi, to'g'ri burchakli uchburchakni birlik radiusiga ega bo'lish uchun OA kabi gipotenuza. Va tenglamadan beri barcha ballarni ushlab turadi birlik aylanasida kosinus va sinusning ushbu ta'rifi ham qoniqtiradi Pifagorning o'ziga xosligi
Boshqa trigonometrik funktsiyalarni birlik doirasi bo'yicha quyidagicha topish mumkin
va
va
Pifagor identifikatori va geometrik isbotlash usullarini qo'llagan holda, ushbu ta'riflar sinus va kosinus nuqtai nazaridan tanjen, kotangens, sekant va kosekans ta'riflari bilan mos kelishini osonlik bilan ko'rsatish mumkin, ya'ni
Trigonometrik funktsiyalar: Sinus, Kosinus, Tangens, Cosecant (nuqta), Yopiq (nuqta), Kotangens (nuqta) – animatsiya
Ning burchagi burilishidan beri shaklning holatini yoki o'lchamini, nuqtalarini o'zgartirmaydi A, B, C, D.va E ayirmasi tamsayı ko'paytmasiga teng bo'lgan ikki burchak uchun bir xil . Shunday qilib trigonometrik funktsiyalar quyidagicha davriy funktsiyalar davr bilan . Ya'ni tengliklar
va
har qanday burchak uchun ushlab turing θ va har qanday tamsayı k. Xuddi shu narsa boshqa to'rtta trigonometrik funktsiyalar uchun ham amal qiladi. Sinus, kosinus, kosekans va sekant funktsiyalarining belgisi va bir xilligini to'rt kvadrantda kuzatib, shuni ko'rsatish mumkin. 2π ular davriy bo'lgan eng kichik qiymatdir (ya'ni, 2π bo'ladi asosiy davr ushbu funktsiyalar). Biroq, burchak bilan burilgandan keyin , ochkolar B va C tangens funktsiyasi va kotangens funktsiyasi ning asosiy davriga ega bo'lishi uchun allaqachon asl holatiga qayting π. Ya'ni tengliklar
va
har qanday burchak uchun ushlab turing θ va har qanday butun son k.
Algebraik qiymatlar
The birlik doirasi, ba'zi bir nuqtalar kosinusi va sinusi bilan belgilanadi (shu tartibda) va mos keladigan burchaklar radian va darajalarda.
The algebraik ifodalar eng muhim burchaklar uchun quyidagilar:
(to'g'ri burchak)
(to'g'ri burchak)
Nomeratorlarni ketma-ket manfiy bo'lmagan butun sonlarning kvadrat ildizlari sifatida, maxraji 2 ga teng bo'lgan holda yozish, qadriyatlarni eslab qolishning oson usulini beradi.[10]
Bunday oddiy iboralar, odatda, to'g'ri burchakning ratsional ko'paytmasi bo'lgan boshqa burchaklar uchun mavjud emas, agar daraja bilan o'lchangan, uchga ko'paytma bo'lgan burchak uchun sinus va kosinus quyidagicha ifodalanishi mumkin: kvadrat ildizlar, qarang Haqiqiy radikallarda ifodalangan trigonometrik konstantalar. Sinus va kosinusning ushbu qiymatlari quyidagicha tuzilishi mumkin hukmdor va kompas.
Butun sonli daraja burchagi uchun sinus va kosinus quyidagicha ifodalanishi mumkin kvadrat ildizlar va kub ildizi haqiqiy bo'lmagan murakkab raqam. Galua nazariyasi agar burchak 3 ° ga ko'p bo'lmasa, haqiqiy bo'lmagan kub ildizlari muqarrar ekanligini isbotlashga imkon beradi.
Darajalar bilan o'lchangan burchak uchun a ratsional raqam, sinus va kosinus mavjud algebraik sonlarbilan ifodalanishi mumkin nildizlar. Buning sababi shundaki Galois guruhlari ning siklotomik polinomlar bor tsiklik.
Darajalar bilan o'lchangan ratsional son bo'lmagan burchak uchun burchak ham, sinus ham, kosinus ham bo'ladi transandantal raqamlar. Bu xulosa Beyker teoremasi, 1966 yilda isbotlangan.
Oddiy algebraik qiymatlar
Quyidagi jadval trigonometrik funktsiyalarning eng oddiy algebraik qiymatlarini umumlashtiradi.[11] Belgisi ∞ ifodalaydi cheksizlikka ishora ustida proektiv ravishda kengaytirilgan haqiqiy chiziq; u imzolanmagan, chunki jadvalda paydo bo'lganda, mos keladigan trigonometrik funktsiya moyil bo'ladi +∞ bir tomonda va to –∞ boshqa tomondan, argument jadvaldagi qiymatga intilganda.
Do'stlaringiz bilan baham: |
