Тригонометрические уравнения и неравенства

Пример 41 Найти все значения параметра , при которых уравнение имеет единственное решение.


Решение. Заметим, что и --- четные функции, поэтому левая часть уравнения есть четная функция.
Значит если --- решение уравнения, то есть также решение уравнения. Если --- единственное решение уравнения, то, необходимо, .
Отберем возможные значения , потребовав, чтобы было корнем уравнения.

Сразу же отметим, что другие значения не могут удовлетворять условию задачи.
Но пока не известно, все ли отобранные в действительности удовлетворяют условию задачи.
Достаточность.
1) , уравнение примет вид .
2) , уравнение примет вид:

Очевидно, что , для всех и . Следовательно, последнее уравнение равносильно системе:

Тем самым, мы доказали, что при , уравнение имеет единственное решение.
Ответ. .

Решение с исследованием функции

Пример 42  Докажите, что все решения уравнения

--- целые числа.


Решение. Основной период исходного уравнения равен . Поэтому сначала исследуем это уравнение на отрезке .
Преобразуем уравнение к виду:

При помощи микрокалькулятора получаем:

Находим:



Если , то из предыдущих равенств получаем:

Решив полученное уравнение, получим: .
Выполненные вычисления представляют возможность предположить, что корнями уравнения, принадлежащими отрезку , являются , и .
Непосредственная проверка подтверждает эту гипотезу. Таким образом, доказано, что корнями уравнения являются только целые числа , .