Тўр ва тўр функциялар. Ҳар хил соҳаларда тўр қуриш

2-мавзу. Оддий дифференциал тенгламалар учун Коши масаласи ва чегаравий масалалар. Хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар. Бошланғич ва чегаравий масалалар қўйиш.

Биринчи тартибли сода дифференсиал тенгламалар




Диффузион типдаги масалаларда чегаравий шарт

Биз бу параграфда иссиқлик тарқалиши ва диффузия масалаларининг турли чегаравий шартларини кўриб чиқамиз ва иссиқлик оқимига оид муҳим тушунчаларни киритамиз.

Учта асосий чегаравий шартларни кўриб чиқамиз.

1. 
   у= г(т) (чегарада берилган температура),
   
2. 
   (ташқи муҳит температураси берилган; н - нормал вектор),
   
3. 
   (чегарадаги иссиқлик оқими берилган)
   

Одатда иссиқлик тарқалиши тенгламаларида айнан юқоридаги уч типга оид чегаравий шартлар қўлланилади. Бу параграфда турли физик жараёнлар ана шу чегаравий шартларга келишини кўриб чиқамиз [1].
1-расмда тасвирланган бир ўлчамли стержендаги иссиқлик оқими ҳаракатини кўриб чиқамиз.

1-расм.Температура чегарада берилган.
Стержн четларидаги иссиқлик термостат ва иситгич ёрдамида ушлаб турилади. Биринчи турдаги чегаравий масала жуда кўп учрайди. Баъзи ҳолларда масала чегаравий шарт асосида бошқарилади яни чегаравий температура g₁(т) ва g₂(т)стержн ичидаги иссиқлик миқдорини маълум бир шаклда ўзгаришига сабаб бўлади. Бу ҳолатда стержн ичидаги иссиқлик миқдори чегарадаги иссиқлик оқими ҳисобидан бошқарилади. Масалан, металлургияда температура чегаравий шарт асосида шундай бошқариладики, метал ичидаги температуранинг вақт бўйича ўзгаришида иссиқлик печи ичидаги ҳарорат градиенти унчалик катта бўлмайди.
Биринчи турдаги чегаравий шартлар кўп ўлчовли иссиқлик тарқалиши масалаларида ҳам берилади. Мисол сифатида чегаравий температура қутб координаталар системасида(у(Р, θ, т)=cost sinθ) берилган Р радиусли доиравий диск ичидаги иссиқлик майдонини аниқлаш масаласини кўрсатишимиз мумкин (2-расм).

2-расм.Чегарада температура тебраниши.

Бу масалани ечишимиз учун бошланғич температурани билишимиз зарур. Диск ичидаги температура эса фақат чегарадаги температура орқали аниқланади [1].