Тўр ва тўр функциялар. Ҳар хил соҳаларда тўр қуриш

Оддий дифференциал операторларнинг айирмали аппроксимацияси.


оператор функцияга таъсир этувчи дифференциал оператор бўлсин. да иштирок этувчи ҳосилаларни айирмали ҳосилалар билан алмаштириб, ифода ўрнига тўр функция шаблонини ташкил этувчи тугун нуқталардаги қийматларининг чизиқли комбинациясидан иборат бўлган айирмали ифодага эга бўламиз:

ёки

бу ерда - коэффициентлар, - тўр қадами, - нуқтадаги шаблон. ни билан бундай алмаштириш дифференциал операторни айирмали оператор билан аппроксимация қилиш (ёки операторни айирмали аппроксимацияси) дейилади.
операторни айирмали аппроксимацияси одатда аввал локал, яъни фазонинг фиксирланган ихтиёрий нуқтаси учун ўтказилади. Агар узлуксиз функция бўлса, бўлади. Дифференциал оператор ни айирмали аппроксимация қилишдан олдин шаблонни танлаш лозим бўлади.
1-мисол. .
ўқида қандайдир нуқтани фиксирлаймиз. ва ( ) нуқталарни оламиз. аппроксимация қилиш учун қуйидаги ифодалардан ихтиёрий биттасидан фойдаланиш мумкин:
, (1.28)
. (1.29)
(1.28) ифода ўнг айирмали ҳосила (уни билан белгилаймиз), (1.29) ифода эса чап айирмали ҳосила (уни билан белгилаймиз) деб аталади. ва айирмали ифодалар иккита нуқтада аниқланган (яъни икки нуқтали , ва , шаблонлардан фойдаланилган).
Бундан ташқари ҳосилани айирмали аппроксимацияси сифатида (1.28) ва (1.29) ифодаларнинг чизиқли комбинациясидан ҳам фойдаланиш мумкин:
, (1.30)
бу ерда - ихтиёрий ҳақиқий сон. Хусусан, да марказий (икки томонлама) айирмали ҳосилага эга бўлиш мумкин:
. (1.31)
Шундай қилиб, ҳосилани аппроксимация қилувчи айирмали тенгламалар тўпламини ёзиш мумкин экан. У ёки бу айирмали аппроксимациядан фойдаланилганда қандай хатоликка йўл қўйиш мумкин ва да нуқтада айирма ўзини қандай тутади деган савол пайдо бўлиши табиий.
миқдорга нуқтада нинг айирмали аппроксимация хатолиги дейилади. нуқтанинг атрофида функция етарлича силлиқ ва деб ҳисоблаб ( - фиксирланган сон), ни Тейлор қаторига ёямиз
.
Бу ёйилмаларни (1.28), (1.29) ва (1.31) ифодаларга қўйиб, қуйидагиларга эга бўлиш мумкин:
,
, (1.32)
.
Булардан кўриниб турибдики,
,
,
.
- нуқтанинг бўлганда операторни ўз ичига олувчи атрофида берилган ва етарлича силлиқ функциялар синфи бўлсин.
оператор дифференциал операторни нуқтада - тартиб билан аппроксимация қилади дейилади, агарда

тенглик ўринли бўлса.
Шундай қилиб, чап ва ўнг айирмали ҳосилалар ҳосилани биринчи тартиб билан, марказий айирмали ҳосила эса иккинчи тартиб билан аппроксимация қилар экан.