Тўпламларнинг декарт кўпайтмаси. Муносабатлар. Эквивалентлик ва тартиб муносабати

Мисоллар.
3.1 -бутун сонлар тўплами ва -иккинчи тартибли бутун элементли барча матрицалар тўплами оддий қўшиш ва кўпайтириш амалларига нисбатан ҳалқа ташкил этади. ҳалқа ҳалқанинг кенгайтмасини бўладими?
Ечиш: тўпламдан олинган ҳар қандай бутун сон орқали ҳосил қилинган кўринишдаги матрица ҳалқага тегишли. Агар шартли равишда деб
қабул қилсак, муносабат бажарилади ва

тенгликлар бажарилади, яъни сон билан унинг бошқа
кўриниши бўлган матрица бир хил хусусиятларга эга бўлади. Демак, ҳалқа Z ҳалқанинг кенгайтмаси бўлади. Ундан ташқари, да га тегишли бўлмаган, кўринишда бўлмаган элементлар ҳам мавжуд, яъни
3.2 R ҳақиқий сонлар тўплами оддий қўшиш амалига нисбатан, О дан фарқли барча ҳақиқий сонлар тўплами эса кўпайтириш амалига нисбатан группа ташкил этади. Агар акслантиришни тенглик билан аниқласак,
а) акслантриш гомоморф бўладими?
в) акслантриш изоморф бўладими?
в) (R)-гомоморф тасвирини қуринг.
Ечиш. а) Демак гомоморф акслантириш бўлади.
в) Агар бажарилса ҳам бажарилади. Лекин акслантириш ўзаро бир қийматли бўлмайди, чунки группадаги манфий элементларга акслантириш ёрдами ўтадиган ҳақиқий сон мавжуд эмас. Демак, –изоморфизм бўлмайди.
с) -гомоморф акслантириш тасвирини қурамиз. тенгликдан эканлиги келиб чиқади. Демак, -барча мусбат сонлар тўпламидан иборат бўлиши мумкин. Охирги хулосани исботлаш учун ҳар қандай мусбат сонга акслантириш ёрдамида ўтадиган группанинг элементи мавжудлигини кўрсатиш етарли. Бунинг учун тенгламани х га нисбатан ечиш керак.
Демак, бўлиб, тенглик бажарилади. Шунинг учун, тенглик ўринли
Адабиётлар:

1. Назаров Р. Н, Тошпўлатов Б. Т, Дусумбетов А. Д. Алгебра

ва сонлар назарияси. T., I қисм,1993 й.,II қисм, 1995 й.
2. Тошпўлатов Б. Т, Дусумбетов А. Д, Қулматов А. Қ. Алгебра
ва сонлар назарияси. Маърузалар матни. T., 2001
1-5-қисмлар.
3.Р. Искандаров, Р. Назаров. Алгебра ва сонлар назарияси..
I-II қисмлар.T., Ўқитувчи, 1979 й.
4.Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. M.,Высшая школа.
1979 г.
5.Нечаев В. И. Числовие системы M. Просвещении , 1975 г.
6.Ван-дер-Варден. Алгебра M. 1976
7. Кострикин. И. A. Введение в алгебру M.Наука, 1977 г