Тўпламларнинг декарт кўпайтмаси. Муносабатлар. Эквивалентлик ва тартиб муносабати

7.2. тўпламнинг Q – рационал сонлар майдони устида рангги 3 га тенг бўлинишга эга бўлган алгебра эканини кўрсатинг.
Ечиш. бўлган оддий амалларга нисбатан рационал сонлар майдони устида чизиқли фазо ва бирлик элементи ҳалқа эканини текшириш осон. Ундан ташқари, ҳар қандай Q ва x,y элементлар учун
(x)y=(xy)=x(y)
тенгликлар бажарилади. Демак, масалани тўлиқ ечиш учун ҳар қандай x=(0) кўринишдаги тенгламани ечимга эга бўлишини кўрсатиш етарли. Бунинг учун, ихтиёрий  (0) элементга тескари элемент мавжудлигини кўрсатиш етарли



элемент берилган бўлиб, яъни a,b,c коэффициентлардан ақалли биттаси 0 дан фарқли бўлсин.
f(x)=a+bx+cx²
кўпҳад учун тенглик бажарилади. Бу кўпҳад рационал сонлар майдонида келтирилмайдиган кўпҳаддир. Иккинчи томондан, элемент Q майдон устида алгебраик бўлиб,
g(x)=x³-2
кўпҳад бу элементнинг минимал кўпҳади бўлади. Чунки g(x) кўпҳад қуйидаги хоссаларни қаноатлантиради:

1. 
   g(x)Q[x]
   
2. 
   
   
3. 
   g(x) кўпҳад рационал сонлар майдони устида келтирилмайдиган бўлиб, у юқоридаги хоссаларни қаноатлантирувчи энг кичик даражали кўпҳаддир.
   

Демак g(x) ва f(x) кўпҳадлар ўзаро туб бўлади. Маълум теоремага асосан бу кўпҳадлар учун шундай u(x) ва v(x) кўпҳадлар мавжудки,

тенглик, бундан эса

тенглик келиб чиқади, ёки

тенглик ҳосил бўлади.
Демак, .
Масалан, элементга тескари элемент бўлиб муносабат ўринли.
Адабиётлар:

1. Назаров Р. Н, Тошпўлатов Б. Т, Дусумбетов А. Д. Алгебра

ва сонлар назарияси. T., I қисм,1993 й.,II қисм, 1995 й.
2. Тошпўлатов Б. Т, Дусумбетов А. Д, Қулматов А. Қ. Алгебра
ва сонлар назарияси. Маърузалар матни. T., 2001
1-5-қисмлар.
3.Р. Искандаров, Р. Назаров. Алгебра ва сонлар назарияси..
I-II қисмлар.T., Ўқитувчи, 1979 й.
4.Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. M.,Высшая школа.
1979 г.
5.Нечаев В. И. Числовие системы M. Просвещении , 1975 г.
6.Ван-дер-Варден. Алгебра M. 1976
7. Кострикин. И. A. Введение в алгебру M.Наука, 1977 г