Тўпламларнинг декарт кўпайтмаси. Муносабатлар. Эквивалентлик ва тартиб муносабати

АЛГЕБРАИК СТРУКТУРА КЕНГАЙТМАСИ. АЛГЕБРАИК СТРУКТУРАЛАРНИ
ГОМОМОРФИЗМИ ВА ИЗОМОРФИЗМИ

Агар бирор тўпламда бир ёки бир неча амаллар аниқланган бўлса, тўпламни бу алгебраик амал(лар) билан биргаликда алгебра структура (тизим) дейилади. Демак, группа, ҳалқа, жисм, майдон, чизиқли фазо, алгебра тушунчалар алгебраик структураларнинг ҳар хил кўринишларидир.

Агар алгебраик структура ташкил этса, у ҳолда ни нинг қисм структураси, ёки структура нинг кенгайтмаси ҳам деб номланади.
Масалан, ва R тўпламлар оддий қўшиш амалига нисбатан группалар бўлиб, муносабат ҳам ўринли, яъни группа группанинг қисм группасидир, ўз навбатида эса группанинг кенгайтмаси ҳам деб номланади. Худди шунингдек, ва тўпламлар оддий қўшиш ва кўпайтириш амалларига нисбатан ҳалқа ташкил этиб, Z ҳалқа R ҳалқанинг қисм ҳалқаси, ёки R ҳалқа ҳалқанинг кенгайтмасини ташкил этади.
Агар тўплам * амалига нисбатан, эса амалига нисбатан группа ташкил этиб, группани группага ўтказувчи акслантириш учун тенглик группанинг ихтиёрий а,b элементлари учун ўринли бўлса, у ҳолда акслантиришни гомоморф акслантириш ёки гомоморфизм дейилади. Бунда
,
тўпламни G группанинг гомоморф тасвири (образи) дейилади.
Ўзаро бир қийматли бўлган гомоморф акслантиришни эса изоморф акслантириш дейилади. Бу холда G ва G ₁ группаларни изоморф группалар дейилади.
К ва К₁ тўпламлар ҳалқа ташкил этган ҳолда акслантириш учун
ва (2)
шартлар бажарилса, акслантиришни гомоморф акслантириш дейилади. (2) тенгликни чап томонидаги + ва  К ҳалқадаги, ўнг томонидаги + ва  амаллари эса К₁ ҳалқадаги амаллар эканлигига аҳамият бериш керак.
Чизиқли фазо ва алгебраларнинг гомоморфизми ва изоморфизмлари ҳам, юқоридаги таърифлардагидек тегишли ўзгартириш киритиш орқали аниқланади.
Масалан акслантириш ва чизиқли фазолар ўртасидаги гомоморфизм бўлиш учун
(3)
шартларни қаноатлантириши керак. акслантириш Р майдон устида берилган алгебралар ўртасидаги изоморф акслантириш учун
(4) шартлар бажарилиши керак.
Бу ерда ҳам (3) ва (4) тенгликларнинг чап томонидаги + ва ^. ва скалярга кўпайтириш амаллари тўпламдаги, ўнг томонидаги + ва ^. амаллари эса даги амаллардир.