Toshkent davlat pedagogika universiteti fizika-matematika fakulteti

9-misol. fazoda metrikani quyidagicha :

Kiritilsa, bu metrik fazo kabi belgilanadi.

Endi akslantirishni metrika ekanligin tekshiraylik.

Tekshirish. ekanligi ravshan. Agar da bo’lsa, undan

Bo’lishi kelib chiqadi. Aksincha , agar

bo’lsa, undan uchun bo’lishi kelib chiqadi. Shuni isbotlaymiz.

Teskaridan faraz qilaylik. Biror nuqtada , ya’ni, masalan , bo’lsin. U holda uzluksiz funksiyaning lokal xossasiga ko’ra nuqtaning yetarlicha kichik topiladiki, uchun bo’ladi. U holda

Bo’lib , bu deb olinishiga zid bo’lib qoladi. Demak, uchun bo’ladi.

Simmetriklik aksiomasining bajarilishini ko’rsataylik.

Bundan esa quyidagi tenglikka ega bo’lamiz,

akslantirish uchun uchburchak aksiomasining o’rinli ekanligini ko’rsatamiz.

Tenglik o’rinli, modul xossasiga ko’ra

Tengsizlikka ega bo’lamiz. Bu tengsizlikning ikkala tarafini ham t ga ko’ra integrallab yuborsak

ga ega bo’lamiz. Bu esa quyidagi tengsizlikning

Demak, kiritilgan akslantirihs metrika tashkil qilar ekan.

10-misol. -barcha chegaralangan ketma-ketliklar (sonli ketma- ketliklar) to’plami bo’lsin. akslantirish quyidagidek berilgan bo’lsin:

Bu akslantirish uchun shartlarning bajarilishini ko’rsatish qiyin emas. Avvalo bo’lishi ravshandir. Agar bo’lsa, u holda ekanligi kelib chiqadi.

Ikkinchidan , chunki . Endi bo’lsin. Absolyut qiymat xossasiga ko’ra

bo’ladi. Bundan esa

Ekanligi kelib chiqadi. Aniq yuqori chegara xossasiga ko’ra

Bo’ladi. Bundan ,

Demak, - masofa , metrik fazo.