|
Оптимал фильтрлашга детерминантли масала шаклида ёндошиш. LMS алгоритмидан фойдаланилганда фильтр киришидаги сигнални тасодифий жараён деб ҳисоблаб, намунавий сигнални фильтр чиқишидаги фарқланиши – хатолиги дисперсиясини минималаштирган эдик. Оптимал фильтрлашга детерминантли масала шаклида ёндошишда статистик методдан фойдаланилмайди. Мисол учун, кириш сигналининг оний қийматларига ишлов бериш керак бўлсин, бунда -тартибли норекурсив фильтрнинг коэффициентлари ( ) тўпламини ташкил этади ва намунавий сигнал оний қийматлари эса орқали баҳоланади. Бу ҳолда фильтр чиқиш сигнали (16.1), кириш сигналини қайта тиклаш хатолиги (16.2) ёки вектор шаклида (16.5) формулалар орқали аниқланади.
Оптимал фильтрлаш масаласини ечиш учун фильтрнинг чиқиш намунавий сигналини қайта тиклаш хатолиги ўртача квадратик қийматининг минимал қийматини таъминловчи коэффициентлари аниқланади, бу ҳолда
. (16.28)
Бунинг учун (16.5) формулани матрица шаклига ўтиш, чиқиш сигнали вектор-устунлари – ва кириш сигналини қайта тиклаш хатолиги – ни аниқлаймиз:
, , (16.216)
бунда, – намунавий сигнал оний қийматлари вектор-устуни ва – матрица устунлари кечиктириш линияси турли трактларидаги қийматлари:
, .
Хатоликнинг энг кичик қийматига эришиш учун
(16.30)
бўлиши керак, бунинг учун шарти бажарилиши талаб этилади. Фильтр оптимал бўлиши учун қуйидаги шартни бажариш керак
(16.31)
бўлади, яъни (16.31) ифода (16.12) ифодага ўхшаш бўлиб, статистик маънода оптимал бўлган Винер фильтрини эслатади. Ҳақиқатда ҳам агар сигнални вақт бўйича ўртачалаштирилган ягона кузатиш натижасида олинган корреляцион матрицасининг баҳоси деб ҳисобласак ва ни намунавий сигнал ва кечиктириш линияси чиқишидаги сигнал билан ўзаро корреляция функцияси деб ҳисоблаш мумкин. Бу ҳолда (16.12) ва (16.31) формулалар бир хил мазмунга эга бўлади.
RLS адаптив алгоритми. Сигналларга рақамли фильтрларда ишлов беришда кириш сигналининг ҳар бир -чи оний қиймати аниқланганда (16.31) фомула орқали фильтр коэффициентларини ҳисоблаш мумкин. Аммо бу усулдан фойдаланиш ҳисоблашлар ҳажмининг ниҳоятда катталашишига олиб келади. Ҳақиқатда ҳам ҳар бир одим (қадам)да матрица ўлчами катталашади, бундан ташқари ҳар бир матрица учун тескари матрица қийматларини қайта ҳисоблаш талаб этилади. Ҳисоблашлар ҳажмини ҳар бир одимдан сўнг матрицага яна бир янги устун қўшиш ва векторга янги бир ташкил этувчи қўшиш керак бўлади. Натижада ҳисоблашларни рекурсив ташкил этиш имконияти пайдо бўлади. Бу алгоритм энг кичик қийматни рекурсив ҳисоблаш методи деб номланади.
RLS адаптив алгоритмидан фойдаланилганда кириш сигналининг ҳар бир оний қийматлари олингандан сўнг қуйидаги амалларни бажариш керак:
1. Кириш сигналининг навбатдаги оний қийматлари олингандан сўнг фильтрнинг навбатдаги коэффициентларидан фойдаланиб фильтрлаш ва чиқишидаги намунавий сигнал хатолиги ҳисобланади:
, . (16.32)
2. Кучайтириш коэффициентлари вектори устунлари ҳисобланади. Бунда ҳар бир навбатдаги ҳисоблашларда кучайтириш коэффициенти нинг қиймати қайтадан ҳисобланади, яъни ҳисоблаш рекурсив бўлмайди, сўнгра икки ҳисоблашларда каср махражи скаляр катталик бўлади (матрица эмас):
. (16.33)
3. Сигнал тескари корреляция матрицаси баҳосини янгилаш амали бажарилади:
. (16.34)
4. Фильтр коэффициентлари янгиланади:
. (16.35)
Навбатдаги вазифа матрица ва векторнинг рекурсив янгиланадиган бошланғич қийматларига нисбатан аниқлик киритишдан иборат. Одатда фильтр коэффициентлари вектори алгоритми бўйича амални бажаришдан аввал ноллар билан тўлдирилади. матрицани таҳлил қилиш шуни кўрсатадики, кечиктириш линияси кириш сигналлари оний қийматлари билан тўлдирилгандан сўнг, ҳисоблаш натижаси бошланғич шартларга боғлиқ бўлмайди, агарда
. (16.36)
Амалда матрица диагонали катта мусбат қийматлар билан тўлдирилади, мисол учун уни га тенг қилиб олиш тавсия этилади.
LMS алгоритмига қараганда RLS алгоритми нисбатан кўп ҳисоблаш амалларини бажаришни талаб қилади. Фильтр коэффициентларини янгилаш учун ҳисоблашларни оптимал ташкил этилганда жуфт “кўпайтириш ва қўшиш” амалларини бажариш талаб этилади. Бунда ҳисоблашларни оптимал ҳисоблаш деганда матрицанинг симметрик эканлигини эътиборга олиш назарда тутилган. Шундай қилиб, RLS алгоритмида бажариладиган амаллар сони фильтр тартибига боғлиқ квадратик қонун бўйича кўпайиб боради. Аммо RLS алгоритмидан фойдаланилганда LMS алгоритмига қараганда тенгликка интилиш тезроқ амалга ошади. RLS алгоритми ҳар бир одим (қадам)да фильтр коэффициентлари (16.31) формулага мос келувчи оптимал қийматларга эга бўлади, сигналга ишлов бериш бошида ўтиш жараёни матрица баҳосини рекурсив ҳисоблашга ва кечиктириш линиясининг кириш сигнали оний қийматлари билан аста-секин тўлишига боғлиқ.
Экспонента қонуни бўйича унутиш. (16.28) ва (16.30) формулаларда хатолик қийматларига сигнал узатиш вақти давомида бир хил талаб қўйилади. Натижада кириш сигнали статистик қийматлари вақт давомида ўзгариши фильтрлаш сифатининг ёмонлашишига сабаб бўлади. Фильтрга кириш сигналининг ностационарлигини кузатиш имкониятини бериш учун (16.28) формулага экспоненционал қонун бўйича унутиш имкониятини бериш, яъни хатолик сигнали аввалги қийматларини экспонента бўйича кичиклаштириш коэффициентини киритиш керак бўлади:
, (16.37)
бунда – унутиш коэффициенти ( ).
Экспонента бўйича унутишдан фойдаланилганда (16.33) ва (16.34) формулалар қуйидаги кўринишни оладилар:
,
. (16.38)
Do'stlaringiz bilan baham: |
