|
16.2. Оптимал ечимни градиентли излаш
Адаптив алгоритмлардан энг кўп фойдаланиладигани бу (16.11) мақсад функциясининг минимумини (энг кичик қийматини) энг тез тушиш усули орқали топиш ҳисобланади. Ушбу усулдан фойдаланилганда фильтр коэффициентлари вектори итерация тартиб рақами га боғлиқ, яъни . Ҳар бир итерацияда векторлари мақсад функцияси градиентининг ушбу нуқтадаги қийматига пропорционал равишда силжийди:
, (16.116)
бунда, – мусбат коэффициент бўлиб, у одим ўлчами деб аталади.
Юқорида келтирилган (16.116) алгоритм
, (16.20)
бўлганда яқинлашади. Бунда – корреляция матрицасининг максимал хусусий миқдори. Яқинлашиш тезлиги корреляция матрицаси қийматларининг ёзилганлигига боғлиқ бўлиб нисбати қанча кичик бўлса, итерация жараёни шунча қисқа вақтда бўлиб ўтади.
Энг кичик ўртача квадратик хатоликни таъминловчи адаптивланувчи (мослашувчи) алгоритм. (16.116) формула асосида энг тез тушиш (яқинлашиш)ни амалга ошириш учун градиент қийматларини ҳисоблаш керак, буни амалга ошириш учун ўз навбатида матрица ва вектор ларнинг қийматларини билиш керак. Амалда бу параметрларнинг фақат кириш сигналлари олинган баҳолари маълум бўлиши мумкин. Бундай баҳолардан бири корреляция матрицаси ва ўзаро корреляция вектори оний қийматлари ҳисобланади. Бу қийматлар ҳеч қандай ўрталаштиришларсиз олинади:
,
. (16.21)
Бу баҳолашлардан фойдаланилганда (16.116) формула қуйидаги кўринишни олади
. (16.22)
Қавс ичидаги ифодалар намунавий сигнал ва фильтр чиқишидаги одим (қадам)даги сигнал фарқи, яъни фильтрлаш хатолиги га тенг. Юқоридаги эътиборга олинса, фильтр коэффициентларини рекурсив янгилаш ифодаси жуда содда бўлади, яъни қуйидаги кўринишни олади:
. (16.23)
(16.23) формулага асосланган адаптив фильтрлаш алгоритми энг кичик квадратик қиймат (LMS – Least Mean Square) алгоритми номи билан юритилади. Ушбу (16.23) формулани ўртача квадратик хатолик статистик градиенти ўрнига унинг оний қиймати билан алмаштириш орқали ҳам олиш мумкин. LMS алгоритми содда кўринишга эгалигига қарамасдан аниқ аналитик ечими йўқ мураккаб масала ҳисобланади.
Ушбу алгоритм нинг кичик оралиқда ўзгарувчи қийматларида нинг минимал қийматларини таъминлаши мумкин, бунда нинг энг катта чегаравий қиймати
, (16.24)
бунда, – корреляция матрицаси нинг хусусий сонлари, – фильтр кириш сигналининг ўртача квадратик қиймати.
Нормаллашган LMS алгоритмидан фойдаланилганда коэффициентининг ҳар бир одим (қадам)даги қиймати кечиктириш линиясидаги сигнал энергияси асосида ҳисобланади, яъни
, (16.25)
бунда – нинг 0 ва 2 оралиғида жойлашган нормаллашган қиймати, эса кичик мусбат катталик бўлиб, фильтр киришидаги сигнал бўлмаган ҳолатда нинг катталашишини чегаралайди.
(16.25) ифодадан кўринадики нинг энг катта қиймати га тенг. Рақамли фильтр коэффициентлари қийматлари бўлган ҳолатда ҳам ўзининг оптимал қиймати атрофида тасодифий қийматларга ўзгариб туради. Шунинг учун ўтиш жараёни тугагандан сўнг ҳам фильтрлаш хатолиги Винер фильтри хатолиги дан катта бўлади:
, (16.26)
бунда, – LMS алгоритми ортиқча хатолик ўртача квадратик қиймати.
Ортиқча ўртача квадратик хатолик ва Винер фильтри хатолигининг нисбати хатоликлар фарқланиш коэффициенти деб аталади ва қуйидагича аниқланади:
. (16.27)
Коэффициент нинг қийматлари LMS алгоритмининг икки асосий кўрсаткичлари: тенглашишга интилиш тезлиги ва фарқланиш коэффициентига таъсир қилади. қанча катта бўлса тенглашишга интилиш алгоритми шунча тез бажарилади, аммо фарқланиш коэффициенти шунча катта бўлади ва аксинча.
LMS алгоритмининг асосий афзаллиги ҳисоблашнинг соддалиги ҳисобланади, бунда фильтр коэффициентларини созлаш учун ҳар бир одим (қадам)да га тенг сонли “кўпайтириш ва қўшиш” амалларини бажариш керак бўлади. Аммо тенглашишга интилиш тезлигининг секинлиги ва ўтиш жараёни тугугандан сўнг ҳам хатолик дисперсиясининг нисбатан катталиги унинг камчилигидир. Шуни алоҳида таъкидлаш керакка, тенглашишга интилишни тезлаштириш ва ҳисоблашлар ҳажмини камайтириш бир-бирига зид бўлган талаблардир.
Ҳозирда сигналларга рақамли ишлов беришнинг бир қатор алгоритмлари мавжуд бўлиб, улардан амалда энг кенг фойдаланиладиганлари қуйидагилардир:
оптимал фильтрлашга детерминантли масала деб қараш;
адаптив RLS алгоритми;
экспонента бўйича хотирадан чиқариш.
Do'stlaringiz bilan baham: |
