Toshkent 2021 yil Annotatsiya

4.11-§. Sirtlarning umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishishi

Sirt yasovchilari (qirralari) to’g’ri chiziq deb qaraladi va ularning umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishayotgan nuqtalari topiladi. Barcha topilgan nuqtalar o’zaro tutashtirilsa, sirtning umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishish chizig’i yasalgan bo’ladi.

Misol. Silindrning o’zaro kesishgan to’g’ri chiziqlarda ifoda qilingan umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishish chizig’i va kesim yuzasining haqiqiy kattaligi aniqlansin (4.11.1- chizma).

4.11.1- chizma

1. 
   Silindrning tekislik bilan kesishish chizig’ini yasash uchun, eng avval sirtning frontal koturining ikki chetgi yasovchilarining ab (a^l b^l, a^ll b^ll) chiziqlar bilan kesishgan nuqta 1^l 2^l, 3^l 4^l larning gorizontal proyeksiyalari a^ll b^ll larda topiladi va ular o’zaro tutashtiriladi. Bu chiziqlar silindrning ikki chetgi yasovchilaridan o’tkazilgan frontal proyeksiyalovchi tekisliklarning ab (a^l b^l, a^ll b^ll) tekisliklar bilan kesishgan chiziqlari deb qabul qilinadi. Oraliq yasovchilarning ab (a^l b^l, a^ll b^ll) tekislik bilan kesishgan chiziqlari ham xuddi shunday aniqlanadi.
   

Bu ikki tekisliklarning o’zaro kesishish chiziqlari bilan sirtning yasovchilari mos holda kesishib, kesishish chizig’iga oid nuqtalarni beradi va topilgan nuqtalar o’zaro ravon qilib tutashtirib chiqiladi.

2. 
   Kesim yuzasining haqiqiy kattaligi proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usulida aniqlanadi. Buning uchun kesim yuzasining frontal chizig’i o’tkaziladi va yangi koordinatalr o’qi x₁ ni f^ll ga perpendikulyar qilib o’tkaziladi. H tekisligini H₁ ga almashtiriladi. Shunda kesim yuzasi to’g’ri chiziq kesmasi ko’rinishida H₁ ga proyeksiyalanadi.
   
3. 
   Ikkinchi yangi koordinatalar o’qi x₂ kesim yuzasining H₁ dagi proyeksiyasiga parallel qilib o’tkaziladi. Shunda kesim yuzasi V₁ ga o’zining haqiqiy kattaligida proyeksiyalanadi.
   

M isol. Aylanish sirti (ovoid) ning umumiy vaziyatdagi (o’zaro kesishish chiziqlarda berilgan) tekislik bilan kesishish chizig’i yasalsin (4.11.2- chizma).

Yechish. 1. Sirtning bosh meridiani orqali frontal tekislik izi F_h o’tkaziladi va uning berilgan umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishish chizig’ining frontal proyeksiyasi 1^ll 2^ll sirtning frontal konturini A^ll B^ll larda kesib o’tadi. Bu nuqtalar kesishish chizig’ini V da ko’rinadigan va ko’rinmaydigan qismlarga ajratadi.

2. Sirtning ekvatori orqali tekislikning

gorizontal izi G_v o’tkaziladi va uning berilgan

tekislik bilan kesishish chizig’ining

4.11.2- chizma gorizontal proyeksiyasi 3^l 4^l sirtning

gorizontal konturini C^l D^l larda kesadi. Bu nuqtalar kesishish chizig’ini H da ko’rinadigan va ko’rinmaydigan qismlarga ajratadi.

3. 
   Sirtning vertikal simmetriya o’qi orqali umumiy vaziyatdagi tekislikning chizig’i 3^l 4^l ga perpendikulyar qilib gorizontal proyeksiyalovchi tekislik izi Q_h o’tkaziladi. Bu tekislik sirtni uning meridiani orqali, berilgan tekislikni eng katta og’ma chizig’i 05 (0^l 5^l, 0^ll 5^ll) orqali kesib o’tadi. Meridian kesimning V dagi proyeksiyasini yasash ancha vaqt talab qilishini hisobga olgan holda uni yasamay, mazkur meridian kesim bosh meridian bilan qo’shilguncha aylantiriladi. Buning uchun 0^l 5^l ni x o’qqa parallel bo’lgincha aylantiriladi. Shunda takislikning eng katta og’ma chizig’i sirtning meridiani kabi, V ga parallel vaziyatni egallaydi. Eng katta og’ma chiziqning yangi holati 0^ll 5^ll₁ sirtning yangi vaziyatdagi bosh meridianini E^ll F^ll nuqtalarda kesib o’tadi. So’ngra bu nuqtalardan x ga parallellar chizib, oldingi vaziyatdagi eng katta og’ma chiziqqa qaytariladi. Shunda kesishish chizig’ining eng yuqori va eng quyi nuqtalari E^ll va F^ll lar hosil bo’ladi. E^ll, F^ll lar orqali 0^l 5^l da E^l, F^l lar aniqlanadi.
   
4. 
   Sirtning umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishish chizg’iga oid yana bir nechta oraliq nuqtalarini topishda sirt parallellaridan foydalaniladi. Natijada kesishish chizig’ining nuqtalarini bir- biri bilan tutashtirishda qulay holat yaratiladi.
   
5. 
   Barcha topilgan nuqtalar o’zaro ko’rinadigan va ko’rinmaydigan qismlarini hisobga olgan holda ravon qilib tutashtiriladi.
   

Misol. To’g’ri doiraviy konusni umumiy vaziyatdagi tekislik bilan kesishish chizig’i va kesim yuzasining haqiqiy kattaligi aniqlansin (4.11.3- chizma).

4.11.3- chizma

Bu masalani yechishda eng oldin konusning vertical simmetriya o’qi orqali frontal tekislik izi F_h o’tkaziladi va uning umumiy vaziyatda berilgan Q (Q_h, Q_v) tekislik bilan kesishgan chizig’ining frontal proyeksiyasi (Q_v ga parallel) bilan konusning frontal konturi kesishayotgan C D nuqtalar aniqlanadi hamda ularning gorizontal proyeksiyalari topiladi.

Q tekislikning gorizontal izi Q_h sirt asosini kesib o’tayotganligini hisobga olgan holda, kesishish chizig’ining eng yuqori nuqtasini aniqlash uchun, konusning vertikal simmetriya o’qi orqali tekislikning Q_h iziga perpendikulyar qilib meridian tekislik o’tkaziladi. Eng yuqori nuqtaning V dagi proyeksiyasi E^ll ni konusning S^ll T^ll yasovchisida topiladi va u orqali H da E^l aniqlanadi.

Kesishish chizig’iga oid oraliq nuqtalar, konusning oraliq parallellari orqali o’tkazilgan gorizontal tekisliklar yordamida topiladi.

Kesim yuzasining haqiqiy kattaligi tekislikni jipslashtirish usulida aniqlash ancha qulay hisoblanadi. Bu jarayon chizmada yaqqol ko’rsatilgan.

Misol. Aylanish sirtining izlari orqali ifoda qilingan umumiy vaziyatdagi Q

(Q_h, Q_v) tekislik bilan kesishish chizig’i va kesim yuzasining haqiqiy kattaligi aniqlansin (4.11.4- chizma).

4.11.4- chizma

Bu misolni proyeksiyalar tekisliklarini almashtirish usulida yechish ancha qulay hisoblanadi.

1. 
   Yangi x₁ o’qni tekislikning Q_h iziga perpendikulyar qilib o’tkaziladi. Sirt asosining markazidagi O^l nuqtadan x₁ ga perpendikulyar chiziq o’tkaziladi va V tekisligi V₁ ga almashtiriladi. Aylanish sirti bilan birga tekislikning frontal izi Q_v ham V dan V₁ ga olib o’tiladi. Buning uchun sirt asosidagi T^ll nuqtadan x₁ ga perpendikulyar (Q_h izga parallel) chiziq o’tkaziladi va T^l T^ll masofa x₁ dan o’lchab qo’yiladi hamda T^ll₁ va Q_x bilan birlashtiriladi. Shunda Q_v1 hosil bo’ladi, ya’ni umumiy vaziyatdagi tekislik frontal proyeksiyalovchi vaziyatga o’tib qoladi. Endi, masala sirtning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishish chizig’ini aniqlashdagi holatiga o’tib qoladi.
   
2. 
   Sirtning proyeksiyalovchi tekislik bilan kesishish chizig’i yasaladi.
   
3. 
   Kesim yuzasining haqiqiy kattaligi aylantirish usulida yasaladi.