To’rt amalga doir hisoblash algaritmlari

Sinuslar - "aralash" :

3. Ko`paytmani yig`indiga va ayirmaga aylantirish formulalari.
Biz qachon bir juft kosinus olamiz? Kosinuslarni qo'shganda. Shunung uchun
Qachon biz bir juft sinusni olamiz? Kosinuslarni ayirishda. Bu yerdan:
"Aralash" sinuslarni qo'shish va ayirish yo'li bilan olinadi. Qaysi biri qiziqroq: qo'shish yoki ayirish? To'g'ri, katlayın. Va formula uchun qo'shimchani oling:
Qavslar ichidagi birinchi va uchinchi formulalarda - miqdori. Atamalar joylarini qayta tartibga solishdan yig'indi o'zgarmaydi. Buyurtma faqat ikkinchi formula uchun muhimdir. Ammo, chalkashmaslik uchun, eslab qolish qulayligi uchun, birinchi qavsdagi barcha uchta formulada biz farqni olamiz.
ikkinchidan, summa
Cho'ntagingizdagi beshik choyshablari xotirjamlik beradi: formulani unutib qo'ysangiz, uni yozib qo'yishingiz mumkin. Va ular ishonch bag'ishlaydi: agar siz cheat varag'idan foydalanmasangiz, formulalarni osongina eslab qolishingiz mumkin.
Biz trigonometriyada eng ko'p ishlatiladigan formulalar haqida suhbatimizni davom ettiramiz. Ulardan eng muhimi qo'shish formulalaridir.
Ta'rif 1
Qo'shish formulalari bu burchaklarning trigonometrik funktsiyalaridan foydalangan holda farqning funktsiyalarini yoki ikki burchak yig'indisini ifodalash imkonini beradi.
Boshlash uchun biz taqdim etamiz to'liq ro'yxat qo'shish formulalari, keyin biz ularni isbotlaymiz va bir nechta tasviriy misollarni tahlil qilamiz.
Yandex.RTB R-A-339285-1

Trigonometriyada asosiy qo‘shish formulalari

Sakkizta asosiy formula mavjud: yig'indining sinusi va ikki burchak ayirmasining sinusi, yig'indi va ayirmaning kosinuslari, yig'indi va ayirmaning tangenslari va kotangentlari. Quyida ularning standart formulalari va hisob-kitoblari keltirilgan.
1. Ikki burchak yig‘indisining sinusini quyidagicha olish mumkin:
Birinchi burchak sinusining ko'paytmasini ikkinchisining kosinusiga hisoblaymiz;
Birinchi burchakning kosinusini birinchi burchakning sinusiga ko'paytiring;
Olingan qiymatlarni qo'shing.
Formulaning grafik yozilishi quyidagicha ko'rinadi: sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b.
2. Farqning sinusi deyarli bir xil tarzda hisoblanadi, faqat natijada olingan mahsulotlar qo'shilmasligi kerak, lekin bir-biridan ayiriladi. Shunday qilib, biz birinchi burchak sinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchakning kosinusining ikkinchisining sinusiga ko'paytmalarini hisoblaymiz va ularning farqini topamiz. Formula shunday yoziladi: sin (a - b) = sin a cos b + sin a sin b.
3. Yig‘indining kosinusu. Buning uchun mos ravishda birinchi burchak kosinusining ikkinchisining kosinusiga va birinchi burchak sinusining ikkinchisining sinusiga koʻpaytmalarini topamiz va ularning farqini topamiz: cos (a + b) = cos a. cos b - sin a sin b
4. Kosinuslar farqi: berilgan burchaklarning sinuslari va kosinuslarining ko’paytmalarini avvalgidek hisoblab chiqamiz va qo’shamiz. Formula: cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
5. Yig‘indining tangensi. Bu formula kasr sifatida ifodalanadi, uning numeratorida kerakli burchaklar tangenslarining yig'indisi, maxrajda esa kerakli burchaklar tangenslarining ko'paytmasi ayiriladi. Uning grafik yozuvidan hamma narsa aniq: t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a t g b
6. Farqning tangensi. Biz bu burchaklarning tangenslarining farqi va mahsulotini hisoblaymiz va ular bilan xuddi shunday harakat qilamiz. Maxrajda bittaga qo‘shamiz, aksincha emas: t g (a - b) = t g a - t g b 1 + t g a t g b.
7. Yig'indining kotangensi. Ushbu formuladan foydalangan holda hisob-kitoblar uchun bizga ushbu burchaklarning kotangentlarining ko'paytmasi va yig'indisi kerak bo'lib, biz quyidagicha harakat qilamiz: c t g (a + b) = - 1 + c t g a c t g b c t g a + c t g b.
8. Farq kotangensi . Formula avvalgisiga o'xshaydi, lekin pay va maxrajda - minus va ortiqcha emas c t g (a - b) = - 1 - c t g a c t g b c t g a - c t g b.
Ehtimol, siz ushbu formulalar juftlik bilan o'xshashligini payqadingiz. ± (ortiqcha-minus) va ∓ (minus-plyus) belgilaridan foydalanib, biz ularni belgilash qulayligi uchun guruhlashimiz mumkin:
sin (a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b cos (a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tg (a ± b) = tg a ± tg b 1 ∓ tg a tg. ctg (a ± b) = - 1 ± ctg a ctg b ctg a ± ctg b
Shunga ko'ra, bizda har bir qiymatning yig'indisi va farqi uchun bitta ro'yxatga olish formulasi mavjud, faqat bitta holatda biz yuqori belgiga, ikkinchisida - pastki belgiga e'tibor beramiz.
Ta'rif 2
Biz har qanday a va b burchaklarni olishimiz mumkin va kosinus va sinus uchun qo'shish formulalari ular uchun ishlaydi. Agar biz bu burchaklarning tangenslari va kotangenslarining qiymatlarini to'g'ri aniqlay olsak, ular uchun tangens va kotangens uchun qo'shimcha formulalar ham tegishli bo'ladi.
Algebradagi ko'pgina tushunchalar singari, qo'shish formulalari ham isbotlanishi mumkin. Biz isbotlaydigan birinchi formula - bu farq kosinus formulasi. Undan keyin qolgan dalillarni osongina chiqarib olishingiz mumkin.
Keling, asosiy tushunchalarni aniqlaylik. Bizga birlik doira kerak. Agar ma'lum bir A nuqtani olib, markaz (O nuqta) atrofida a va b burchaklarni aylantirsak, shunday bo'ladi. U holda O A 1 → va O A → 2 vektorlari orasidagi burchak (a - b) + 2 p z yoki 2 p - (a - b) + 2 p z ga teng bo'ladi (z har qanday butun son). Olingan vektorlar a - b yoki 2 p - (a - b) ga teng burchak hosil qiladi yoki bu qiymatlardan to'liq aylanishlarning butun soni bilan farq qilishi mumkin. Rasmga qarang:
Biz qisqartirish formulalaridan foydalandik va quyidagi natijalarga erishdik:
cos ((a - b) + 2 p z) = cos (a - b) cos (2 p - (a - b) + 2 p z) = cos (a - b)
Xulosa: O A 1 → va O A 2 → vektorlari orasidagi burchakning kosinusu a - b burchakning kosinusiga teng, shuning uchun cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (a - b) .
Sinus va kosinusning ta'riflarini eslang: sinus - qarama-qarshi burchakning oyog'ining gipotenuzaga nisbatiga teng burchak funktsiyasi, kosinus - qo'shimcha burchakning sinusi. Shuning uchun, nuqtalar A 1 Va A2 koordinatalariga ega (cos a , sin a ) va (cos b , sin b ) .
Biz quyidagilarni olamiz:
O A 1 → = (cos a , sin a) va O A 2 → = (cos b , sin b)
Agar aniq bo'lmasa, vektorlarning boshida va oxirida joylashgan nuqtalarning koordinatalariga qarang.
Vektorlarning uzunliklari 1 ga teng, chunki bizda bitta doira bor.
Endi tahlil qilaylik skalyar mahsulot O A 1 → va O A 2 → vektorlari. Koordinatalarda u quyidagicha ko'rinadi:
(O A 1 → , O A 2) → = cos a cos b + sin a sin b
Bundan biz tenglikni chiqarishimiz mumkin:
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b
Shunday qilib, farqning kosinus formulasi isbotlangan.
Endi biz quyidagi formulani - yig'indining kosinusini isbotlaymiz. Bu osonroq, chunki biz oldingi hisob-kitoblardan foydalanishimiz mumkin. a + b = a - (- b) tasvirini oling. Bizda bor:
cos (a + b) = cos (a - (- b)) = = cos a cos (- b) + sin a sin (- b) = = cos a cos b + sin a sin b
Bu yig'indining kosinus formulasining isbotidir. Oxirgi qatorda sinus va kosinus xossalari qo'llaniladi qarama-qarshi burchaklar.
Yig'indining sinusi formulasini farqning kosinus formulasidan olish mumkin. Buning uchun kamaytirish formulasini olaylik:
shaklining sin (a + b) = cos (p 2 (a + b)) . Shunday qilib
sin (a + b) \u003d cos (p 2 (a + b)) \u003d cos ((p 2 - a) - b) \u003d \u003d cos (p 2 - a) cos b + sin (p 2 -) a) sin b = = sin a cos b + cos a sin b
Mana farqning sinusi formulasining isboti:
sin (a - b) = sin (a + (- b)) = sin a cos (- b) + cos a sin (- b) = = sin a cos b - cos a sin b.
Oxirgi hisoblashda qarama-qarshi burchaklarning sinus va kosinus xususiyatlaridan foydalanishga e'tibor bering.
Keyinchalik, bizga tangens va kotangens uchun qo'shish formulalarini isbotlash kerak. Keling, asosiy ta'riflarni eslaylik (tangent - sinusning kosinusga nisbati va kotangent aksincha) va oldindan olingan formulalarni olamiz. Biz buni qildik:
t g (a + b) = sin (a + b) cos (a + b) = sin a cos b + cos a sin b cos a cos b - sin a sin b.
Bizda murakkab kasr bor. Keyinchalik, cos a ≠ 0 va cos b ≠ 0 ekanligini hisobga olsak, uning soni va maxrajini cos a cos b ga bo'lishimiz kerak:
sin a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a cos b - sin a sin b cos a cos b = sin a cos b cos a cos b + cos a sin b cos a cos b cos a cos b cos a cos b cos a cos b cos b - sin a sin b cos a cos b
Endi kasrlarni kamaytiramiz va quyidagi ko rinishdagi formulani olamiz: sin a cos a + sin b cos b 1 - sin a cos a s i n b cos b = t g a + t g b 1 - t g a t g b.
Biz t g (a + b) = t g a + t g b 1 - t g a · t g b ni oldik. Bu tangens qo'shish formulasining isbotidir.
Biz isbotlaydigan keyingi formula bu farqning tangens formulasidir. Hisob-kitoblarda hamma narsa aniq ko'rsatilgan:
t g (a - b) = t g (a + (- b)) = t g a + t g (- b) 1 - t g a t g (- b) = t g a - t g b 1 + t g a t g b
Kotangent formulalari xuddi shunday isbotlangan:
ctg (a + b) = cos (a + b) sin (a + b) = cos a cos b - sin a sin b sin a cos b + cos a sin b = = cos a cos b - sin a sin b sin. a sin b sin a cos b + cos a sin b sin a sin b = cos a cos b sin a sin b - 1 sin a cos b sin a sin b + cos a sin b sin a sin b = = - 1 + ctg a ctg b ctg a + ctg b
Yana:
c t g (a - b) = c t g (a + (- b)) = - 1 + c t g a c t g (- b) c t g a + c t g (- b) = - 1 - c t g a c t g b c t g a - c t g