Tizimlarni moddellashtirish

Назорат учун саволлари

1. 
   Масаланинг физик куйилиши. тенгламасини келтириб чикаринг ва куйидаги физик фаразларга асосланган исботланг?
   
2. 
   Масаланинг математик модели, яъни тор тенгламани ечинг?
   
3. 
   Математик моделлаштиринг?
   
4. 
   Тор тебраниш тенгламасини келтириб чикаришнинг бошлангиш ва чегаравий шартларини келтиринг?
   

Laboratoriya ishi №10
Mavzu: Тебранма харакат тенгламасини ечишда сонли усулларни қўллаш
Ishning maqsadi: Тор тенгламани ечишни математик моделлаштириш жараёни ўрганиш.Talabalarda тор тенгламани ечишни математик моделлаштириш ечиш услублари bo’yicha ko’nikma hosil qilish. Berilgan topshiriqni qo‘yilgan ish reja asosida bajarishni o’rgatish.
Topshiriqning berilishi:

1. 
   Масаланинг куйилишини ўз вариантингизни мақсадини ва усулини тушунтириб беринг?
   
2. 
   Иссиклик таркалиш тенгламасини ечишни келтиринг?
   
3. 
   Фурье усулини қўлланг?
   
4. 
   Олинган ечимларни шакллантиришни (давом эттириш)ни ўрганинг?.
   

1. 
   Ён томони иссиклик утказмайдиган ингичка узун стерженни караб утайлик.
   

Юкорида айитилгандек иссиклик стержендаги ташки томондан иссиклик билан богланмаган холати учун куйидаги тенгламани каноатлантиради
(1)
Агарда стержен етарлича узун булса у холда унинг уртасидаги жараенга факат бошлангиш вактдаги иссиклик таркалиши гина тасир этади, унинг учларидаги узгариш эса унча тасир этмайди
Бундай холатдаги масалаларда стержен узликсиз деб каралади. Бунда чегаравий шартлар каралмайди ва изланаетган u(x,t) функцияга факат гина бошлангиш шарт куйилади
(2)
бундаги функция сонлар осининг хамма нуктасида аникланган ( х ). (2.1) тенгламани (2.2) шартда ечимини томиш масаласига эса бошлангиш шартли масала еки Коши масаласи дейилади.
Куйилган масалани ечишдан аввал t нинг урнига янги узгарувчи киритиш оркали уни бироз соддалаштирамиз

(3)

Унда тенлама куйидаги куринишни олади

ва (2.1) тенглама эса стерженнинг физик холатига боглик булмаган куйидаги куришга келади

(4)

t ва  холатлар учун бошлангиш шарт сифатида

(5)
эга буламиз.
2. тенгламани ечиш учун узгагувчиларни ажратиш ва Фурье масалашининг хусусий ечимини шакллантириш усулларидан фойдаланамиз. Бу усул икки кисмдан иборатдир. Аввал биз (2.4) тенгламанинг икки функция купайтмаси X(x)T() куришдаги хусусий ечимини топамиз, уларнинг хар бири факат биргина узгарувчига богликдир. Бу купайтмани (2.4) тенгламадаги u нинг урнига олиб бориб куйиб :
еки
(6)
ни хосил киламиз.
Тенгламанинг иккала томони хам узгармасдир, чунки чап томон х, унг томон эса  - га боглик эмас. Бундай хулосага эса Фурьенинг узгарувчиларни ажратиш хулосаси оркали келамиз. (2.6) тенгликдаги узгармасларни иккига ажратсак ва уларни с оркали белгиласак, (2.6) тенглама иккига ажралади:

(7)
уларнинг биринчиси умумий ечимга

эгадир. Стерженнинг хеч бир кесимида иссиклик u=X(x)T() абсолют киймати буйича вакт утиши билан чексиз усиб кетмайди ва с нинг киймати тескари булиши керак. c = -  деб кабул килсак, у холда

булиб (2.7) тенгламанинг иккинчиси куйидаги куринишни олади

ва умумий

ечимга эга булади шундай килиб биз (2.4) тенгламанинг хусусий ечимини хосил килдик унинг куриниши

(8)
эга бундаги  = АС ва  =ВС. Бу ерда С. А. В. ва албатта  ва  - ихтийерий узгармаслар булиб, ихтийерий сонларни ифодалайди. (2.8) функцияси (2.4) тенгламанинг ихтийерий фиксирланган ечими булиб хар бири учун хар хил  ва  лар танлаш мумкин. Бу эса  ва  лар ихтийерий нинг функциясидир:   шундай килиб биз (2ю4) тенгламанинг хусусий ечимлар ойласига эга булдик:
(9)
бу ечим парамертга боглик булиб  дан  гача кийматларни кабул килади. Шундай килиб биз Фурье усулининг биринчи кисмини тугаттдик.
3. Фурье усулининг иккинчи кисми - топилган ечимни шакллантиришдан иборатдир. У куйидагичадир. (2.4) тенглама чизикли ва биржинсли ундан ташкари у  параметрга боглик булган чексиз ечимга эга юкорида такидлаганимиздек куйидаги куринишдаги функцияни киритамиз
(10)
ва бу хам (2.4)тенгламанинг ечимидир.Энди биз факат номалум функциялар  ва  ларни чунда й танлайликки ечим (2.10) бощлангиш шарт (2.5) каноатлантирсин яни
(11)
хосил булган тенглик эса бизга функцияни Фурьеинтегралига ейишни курсатади.
функциянинг Фурье интегралига еилишининг куриниши куйидагичадир

Вахоланки cosx  coscosx+sinsinx булганлиги сабабли Фурье интегралини куйидагича езиш мумкин

хосил булган ифодани ва (2.11) формулани солиштириб номаълум функциялар  ,  куйидагича аникланишини топамиз

(12)