|
1 . МИСОЛ
2. МИСОЛ
Nazorat uchun savollar
1.Microsoft EХCEL дастури ҳақида умумий маълумотлар
2.Ишчи китоб варақлар билан ишлаш
3. EХCEL дастурида маълумотлар билан ишлаш
4. Катакчадаги маълумотлар билан ишлаш
5.Формулалар билан ишлаш ва маълумотларни ўтrазиш
6.Функциялар билан ишлаш
Laboratoriya ishi №7
Mavzu: Хусусий хосилани дифференциал тенгламаларини қуриш
Ishning maqsadi: Хусусий хосилани дифференциал тенгламаларини қуришни ўрганиш. Сонли дифференциаллаш тушунча асосида функциянинг аналитик кўриниши номаълум бўлиб, унинг айрим нуқталаридаги қийматлари маълум бўлса масалан, тажрибадан топилган бўлса, у ҳолда унинг ҳосиласи сонли дифференциаллаш йўли билан топишни bajarishni o’rganish. Talabalarda хусусий хосилани дифференциал тенгламаларини қуриш bo’yicha ko’nikma hosil qilish. Berilgan topshiriqni qo‘yilgan ish reja asosida bajarishni o’rgatish.
Topshiriqning berilishi: :
Қандай тенгламаларни дифференциал тенгламалар деб атаймиз. Сонли дифференциаллашга мисол келтириг.
Оддий дифференциал тенгламаларни ёзинг ва умумий ечим нима?
Хусусий ечим қандай топилади, дифференциал тенгламаларни тақрибий ечиш заруриятини келтиринг.
Дифференциал тенгламалар ни тақрибий ечишнинг қандай усулларини бор?
Эйлер усулининг ишчи алгоритмини келтиринг ва Ейлер усулининг қандай камчилиги ва афзаллиги бор?
Рунге-Кутта усулининг ишчи алгоритмини ёзинг Рунге-Кутта усулининг қандай камчилиги ва афзаллигини кўрсатинг?
Дифференциал тенгламаларни тақрибий ечиш зарурияти қаердан келиб чиқади исбот қилиб беринг.
Назарий қисим
Сонли дифференциаллаш ҳақида тушунча.Кўп амалий масалаларда функция ҳосилаларини айрим нуқталарда тақрибий ҳисоблашга тўғри келади. Бу масала сонли дифференциаллаш масаласи дейилади. Функциянинг аналитик кўриниши номаълум бўлиб, унинг айрим нуқталаридаги қийматлари маълум бўлса, масалан, тажрибадан топилган бүлса, у ҳолда унинг ҳосиласи сонли дифференциаллаш йўли билан топилади. Умуман айтганда функцияни сонли диференциаллаш масаласи доимо бир қийматли равишда ечилавермайди.
Масалан, функциянинг нуқтадаги ҳосиласини топиш учун ни олиб
ёки
ёки
каби олишимиз мумкин. (7.1) ўнг ҳосила, (7.2) чап ҳосила, (7.3) марказий ҳосила дейилади. Бу формулалар дифференциаллашнинг тақрибий формулалари бўлиб, чекли айирмадаги ҳосилалар деб ҳам айтилади. Иккинчи тартибдаги ҳосилалар қуйидагича аниқланади:
Бу сонли ҳосилаларнинг қолдиқ ҳадлари Тейлор қатори ёйилмаси ёрдамида аниқланади ва қуйидагича бўлади
Бундан бошқа сонли дифференциаллаш усуллари одатда интерполяцион формулаларга асосланган бўлиши мумкин. Агар [a,b] оралиқда (n+1) та ҳосилалари узлуксиз бўлган f(x) функцияси берилган бўлса. Уни
кўринишида езиб,унинг ҳосилаларини қуйидагича ҳисоблаш мумкин:
Сонли дифференцияллаш хатолари мос равишда
формуласи билан аникланади. (6.4) формуладаги Лагранж кўпхади бўлса, унда
тенг оралиқлар учун эса
қолдиқ ҳад эса
бўлганда
формулаларини олиш мумкин.Ньютон интерполяцион формулалари ёрдамида ҳосилалар ҳисоблашни кўрсатайлик.
Бу формулани қуйидаги Тейлор қатори билан таққослаб
ушбу формулаларни оламиз
Дифференциал ренталар усули.
Дифференциал ренталар усулннинг алгоритмини кўришдан аввал баъзи кўшнмча тушунчалар бнлан танишамиз.
Фараз қилайлик, базис ечимга шундай икки ўлчовли жадвал мос келсинки, уида хар бир базис ўзгарувчи жойлашган катакчага белги (квадратча) кўйилган бўлснн.
Лемма. Иккн ўлчовли жадвалдаги белгилар системаси тартибланувчи бўлипш учун бу жадвалнинг ихтиёрий қисмидаги белгилар сони та бў.тншн зарур ва етарлнднр.Демак, дифференциал тенгламаларнинг маълум шартларни қаноатлантирувчи ечимларини топиш катта аҳамиятга эга.
Дифференциал тенгламалар иккита асосий синфга бўлинади: оддий дифференциал тенгламалар ва хусусий ҳосилали дифференциал тенгламалар.
Хусусий ҳосилали дифференциал тенламаларга кейинроқ батафсил тўхталамиз.
Оддий дифференциал тенгламаларда фақат бир ўзгарувчига боғлиқ функция ва унинг ҳосилалари қатнашади, яъни
(1)
(1) тенгламада қатнашувчи ҳосилаларнинг энг юқори тартиби дифференциал тенгламаларнинг тартиби дейилади. Агар тенглама изланувчи функция ва унинг ҳосилаларига нисбатан чизиқли бўлса, унга чизиқли дифференциал тенглама дейилади.
Қўшимча шартлар берилишига кўра дифференциал тенгламалар учун 2 хил масала қўйилади:
Коши масаласи
Чегаравий масала.
Қуйида шундай усуллардан Эйлер ва Рунге-Кутта усулларини кўриб чиқамиз.
Эйлер усули
Бизга қуйидаги биринчи тартибли дифференциал тенглама(Коши масаласи)ни
(2)
оралиқдаги бошланғич шартни қаноатлантирувчи ечимини топиш лозим бўлсин.
Коши масаласини Эйлер усули ёрдамида ечиш учун, дастлаб дифференциал тенгламанинг ечими қидириладиган кесмани тугун нуқталар билан бўлакларга бўламиз. Тугун нуқталарнинг координаталари ( ) формула орқали аниқланади. Ҳар бир тугунда ечимнинг қийматларини чекли айирмалар ёрдамида тақрибий қийматлар билан алмаштирилади.
Маълумки, функциянинг нуқта атрофидаги Тейлор қаторига ёйилмасини қуйидагича ёзиш мумкин:
Ушбу чексиз қаторнинг бошидаги иккита ҳад билан чегараланиб, биринчи тартибли ҳосила қатнашган ҳадни аниқлаш натижасида қуйидаги чекли айирмали формулани ҳосил қиламиз:
(3)
Ушбу алмаштиришнинг геометрик маъноси қуйидагича:
Хосиланинг геометрик маъносига кўра
BD
(3) дан
Демак, чекли айирмалар формуласи ҳосиланинг асл қийматидан га фарқ қилади, яъни BE қанча кичик бўлса, чекли айирма ҳосилага шунча яқин бўлади. Расмдан да эканини кўриш мумкин. (2) ва (3) дан эканини ҳисобга олиб, қуйидагини ҳосил қиламиз:
(4)
Ҳосил қилинган (4) формула Эйлер усулининг асосий ишчи формуласи бўлиб, унинг ёрдамида тугун нуқталарга мос бўлган дифференциал тенгламанинг хусусий ечимларини топиш мумкин. Юқоридаги формуладан кўриниб турибдики, ечимни топиш учун ечимнигина билиш кифоя. Демак, Эйлер усули бир қадамли усуллар жумласига киради.Эйлер усулининг геометрик маъноси қуйидагича:
А нуқта нуқтага мос келувчи ечим бўлсин. Бу нуқтадан интеграл чизиққа ўтказилган уринма нуқтада бошқа интеграл чизиғида ечимни аниқлайди.Уринманинг оғмалиги ҳосила билан аниқланади. Демак, Эйлер усулидаги йўл қўйилган асосий хатолик ечимни бир интеграл чизиғидан бошқасига ўтказиб юбориши билан характерланади.
Рунге-Кутта усули.Бир қадамли ошкор усулларнинг бошқа бир неча хиллари ҳам мажуд бўлиб, уларнинг ичида амалда энг кўп ишдлатиладигани Рунге-Кутта усули ҳисобланади. Усул шартига кўра ҳар бир янги тугун нуқтадаги ечимни топиш учун функцияни 4 марта ҳар хил аргументлар учун ҳисоблаш керак. Бу жиҳатдан Рунге-Кутта усули ҳисоблаш учун нисбатан кўп вақт талаб қилади. Лекин Эйлер усулидан кўра аниқлиги юқори бўлганлиги учун, ундан амалда кенг фойдаланилади.
Усулнинг ишчи формуласи қуйидагича ёзилади:
бу ерда ;
Do'stlaringiz bilan baham: |
