Texnologiyalari universiteti kriptografiyaning matematik asoslari

4.6. Blokli shifrlar

Feystel tarmog‘iga asoslanmagan simmetrik blokli shifrlash algoritmlariga: AQSh davlat standarti AES FIPS-197, O‘zbekiston milliy standarti O‘z DSt 1105:2009 simmetrik blokli shifrlash algoritmlari misol bo‘la oladi.
Quyida Feystel tarmog‘iga asoslanmagan simmetrik blokli shifrlash algoritmlari matematik asoslarini va [13, 23, 26] da keltirilgan algoritmlar akslantirishlari asosida yoritiladi.
AES kriptoalgoritmining matematik asosi
AES algoritmida baytlar ustida amallar bajariladi. Baytlar GF(2⁸ ) chekli maydon elementlari sifatida qaraladi. GF(2⁸ ) maydon elementlarining darajasi 7 dan katta bo‘lmagan ko‘phad sifatida tasvirlash mumkin. Agarda baytlar
{a₇a₆a₅a₄a₃a₂a₁a₀}, a_i {0,1},i 0...7,
ko‘rinishda tasvirlangan bo‘lsa, u holda maydon elementlari quyidagicha ko‘phad ko‘rinishda yoziladi:
a₇  x⁷  a₆  x⁶  a₅  x⁵  a₄  x⁴  a₃  x³  a₂  x²  a₁  x  a₀ .
Misol uchun {11010101} baytga x⁷ _ x⁶ _ x⁴ _ x² _ a₀ ko‘rinishdagi ko‘phad mos keladi.
Chekli GF(2⁸ ) maydon elementlari uchun additivlik va multiplikativlik xossalariga ega bo‘lgan qo‘shish va ko‘paytirish amallari aniqlangan.
Ko‘phadlarni qo‘shish
AES algoritmida ko‘phadlarni qo‘shish _ (XOR) (berilgan ko‘phadlarga mos keluvchi ikkilik sanoq tizimidagi sonlarning mos bitlarini mod 2 bo‘yicha qo‘shish) amali orqali bajariladi. Masalan, x⁷ _ x⁶ _ x⁴ _ x² _ x va x⁷ _ x⁵ _ x³ _ x _1 ko‘phadlar natijasi quyidagicha hisoblanadi:
(x⁷  x⁶  x⁴  x²  x) (x⁷  x⁵  x³  x 1)  (x⁶  x⁵  x⁴  x³  x² 1)
Bu amal ikkilik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida quyidagicha ifodalanadi:
{11010110}₂ {10101011}₂ {01111101}₂ va D6₁₆  AB₁₆  7D₁₆ .
Chekli maydonda istalgan nolga teng bo‘lmagan a element uchun unga teskari bo‘lgan a element mavjud va a _ (_a) _ 0 tenglik o‘rinli, bu yerda nol elementi sifatida {00}₁₆ qaraladi. GF(2⁸ ) maydonda aa 0tenglik o‘rinli.