Termiz davlat universiteti fizika-matematika fakulteti algebra va geometriya kafedrasi

Ta’rif. (1) – ko‘rinishdagi (2) – shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plamiga nuqtalar to‘plamining qavariq qobig‘i deyiladi va ko‘rinishida belgilanadi.
Bu ta’rifning ilgarigi ta’rifga mos kelishini tekshirish maqsadida va bo‘lgan hollarni qarab chiqamiz. Agar bo‘lsa bizga va nuqtalar berilgan hamda bo‘lib 1-punktda qarab chiqilganiga asosan, kesmani beradi.
bo‘lganda esa bo‘lib uchburchak ichida va uning tomonlarida yotuvchi nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Bu yerda quyidagi lemma o‘rinli:
Lemma. to‘plam nuqtani to‘plamning barcha nuqtalari bilan birlashtiruvchi barcha mumkin bo‘lgan kesmalardan tuzilgan bo‘ladi.
Isboti. Qulaylik uchun deb belgilab olamiz. Ixtiyoriy nuqtani qaraymiz. U


ko‘rinishda bo‘ladi. Agarda bo‘lsa bo‘ladi, ya’ni to‘plam ning qismi.
Agar =1 bo‘lsa va . Shunday qilib va nuqta ga tegishli. Endi bo‘lganda ixtiyoriy kesmaning da yotishni ko‘rsatamiz.
Agar nuqta shunday kesmaning nuqtasi bo‘lsa, u holda

deb yoza olamiz.
Ikkinchi tomondan esa nuqtaning aniqlanishiga ko‘ra

demak

Agar bunda ; deb olsak (1) va (2) ga ega bo‘lamiz. Bu esa ekanligini ko‘rsatadi.
Shunday qilib yuqorida ko‘rsatilgan kesmalarning ixtiyoriy to‘laligicha da yotar ekan.
Endi to‘plamda shu kesmalardan boshqa nuqtalar yo‘qligini, ya’ni dagi ixtiyoriy nuqta shu kesmalardan boriga tegishli bo‘lishini ko‘rsatamiz.
bo‘lsin. U holda (1) va (2) lar bajariladi. deb hisoblash mumkin, chunki aks holda va isbotlanayotgan tasdiq o‘z-o‘zidan tushunarli. Agar bo‘lsa, u holda , shuning uchun ham

deb yozish mumkin. Bunda kvadrat qavs ichidagi ifoda ga tegishli bo‘lgan biror nuqtani beradi, chunki larning koeffisentlari manfiy emas va va yig‘indi 1 ga teng. Demak

Bu yerda va larning ham koeffitsentlari manfiy emas va ularning yig‘indisi 1 ga teng bo‘lgani uchun nuqta kesmada yotadi. Lemma isbotlandi.
Isbotlangan lemmadan ikkala ta’rifning teng kuchli ekanligi kelib chiqadi.
Endi to‘plamning qavariq ekanligini ko‘rsatamiz. va shu to‘plamning ixtiyoriy nuqtalari bo‘lsin.


Bunda

(3)
kesmadagi ixtiyoriy nuqtani
(4)
ko‘rinishida yozish mumkin. Bundan


Bu yerda (3) va (4) ga asosan lar oldidagi koefitsentlar manfiy emas va ularning yig‘indisi 1 ga teng. Bu esa ekanligini ya’ni to‘plamning qavariq ekanligini ko‘rsatadi.
Shuning bilan birga to‘plam berilgan nuqtalar tegishli bo‘lgan qavariq to‘plamlar orasida eng kichigidir. Bu tasdiq isbotlangan lemma va qavariq to‘plam ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.