Termez davlat univesitetining pedagogika instituti

II. Bob .Teylor formulasi

Teylor formulasi matematik analizning eng muhim formullaridan biri bo’lib ko’plab nazariy tedbiqlarga ega. U taqriiy hisoblarning negizini tashkil qiladi.

2.1. teylor ko’hadi. Peano ko’rinishidagi qoldiq hadli Teylor formulasi.
Ma’lumki, funksiyaning qiymatlarini hisoblash ma’nosida ko’phadlar eng sodda funksiyalar hisoblanadi. Shu sababli funksiyaning nuqtadagi qiymatni hisoblash uchun unin shu nuqta atrofida ko’phad bilan almashtirish muammosi paydo bo’ladi.
Nuqtada differensiallanuvchi bo’lsa u holda uning shu nuqtadagi orttirmasini
yani
ko’rinishda yozish mumkin.
Boshqacha aaytganda nuqtada differensiallanuvchi funksiya uchun birinchi darajali
(1)

ko’phad mavjud bo’lib da bo’ladi.

Shuningdek bu ko’phad shartlarni ham qanoatlantiradi.
Endi umumiyroq masalani ko’rib chiqaylik. Agar nuqtaning biror atrofida aniqlangan funksiya shu nuqtada
Hosialarga ega bo’lsa u olda (2)
shart qanoatlantiradigan darajasi n dan kattta bo’lmagan ko’phad mavjudmi.
Bunday ko’phadni

ko’rinishda izlaymiz. Noma’lum bo’lgan koifitsentlarni
topishda (4)
shartlardan foydalanamiz. Avvalo ko’phadlarning hosilalarini topamiz :



.....................................................................................................

Yuqorida oingan va (3) tenglikning har ikkala tomoniga x o’rniga ni qo’yib barcha koifetsentlar qiymatlarini topamiz :



. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bundan hosil
qilamiz. Topilgan natijalarni (3) qo’yamiz va
(5)
ko’rinishda ko’phadni hosil qilamiz. Bu ko’phad Teylor ko’phadi deb ataladi.
Teylor ko’pxadi (2) shartni qanoatlantirishini isbotlaymiz. Funksiya va Teylor ko’phadi ayirmasini orqali belgilaymiz :
(4) shartdan
bo’lishi kelib chiqadi.
Endi yani ekanligini ko’rsatamiz.
Agar bo’sa ifodaning 0/0 ko’rinishdagi aniqmaslik ekanligini ko’rish qiyin emas, Unga Lopital qoidasini n marta tadbiq qilamiz
U holda
. . . =
demak da o’rinli ekan..
Shunday qilib quyidagi teorema isbotlandi.
Teorema. Agar funksiya nuqtaning biror atrofi n marta differensiallanuvchi bo’lsa u holda da quidagi formula
(6) o’rinli bo’ladi.
Bu yerda Peanoko’rinishdagi qoldiq had deyildi. Agar (6) formula deb olsak, Teylor formulasining hususiy holi hosil bo’ladi :
Bu furmula makloren formulasi deb ataladi.